初等函数多值与分支

第 3 章的算题几乎都归结为同一件事：先写成指数形式，再决定取哪个分支。下面五道是标准题型，覆盖对数、复幂、反三角。

对数函数

例 1： $Ln (- 1)$ 与 $\ln (- 1)$

$- 1$ 的模为 $1$ 、辐角主值为 $π$ ，故

Ln (- 1) = \ln 1 + i (π + 2 k π) = i (2 k + 1) π, k \in Z

即 $Ln (- 1) = {\dots, - i π, i π, 3 i π, \dots}$ （多值）；主值为

\ln (- 1) = i π

常见错误

把 $Ln (- 1)$ 直接写成 $i π$ 是漏掉了多值性；把 $\ln (- 1)$ 写成 $i π + 2 k π i$ 是把主值和全体值混为一谈。判据只有一条：大写 $Ln$ 多值、小写 $\ln$ 主值（本库约定，教材恰好相反，见复数的指数形式）。

幂函数

例 2： $(- 1)^{i}$ 的全部值与主值

按复幂定义 $z^{c} = e^{c Ln z}$ ，取 $z = - 1$ 、 $c = i$ ：

(- 1)^{i} = \exp [i \cdot i (2 k + 1) π] = \exp [- (2 k + 1) π], k \in Z

所以全部取值是

\dots, e^{- 3 π}, e^{- π}, e^{π}, e^{3 π}, \dots

它们全是正实数，且随 $k$ 增大向 $0$ 凝聚、随 $k$ 减小无限增大。主值（取 $\ln (- 1) = i π$ ）为 $e^{- π}$ 。

例 3： $i^{i}$ 的全部值与主值

由 $i = e^{i π / 2}$ 得

Ln i = i (\frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z

代入定义：

i^{i} = \exp [i \cdot i (\frac{π}{2} + 2 k π)] = \exp [- (\frac{π}{2} + 2 k π)]

即

\dots, e^{- 5 π / 2}, e^{- π / 2}, e^{3 π / 2}, e^{7 π / 2}, \dots

这些值全部是正实数：随 $k$ 增大单调减小并向 $0$ 凝聚，随 $k$ 减小则无限增大；主值为 $e^{- π / 2}$ 。

对比地， $1^{\sqrt{2}} = \exp (2 \sqrt{2} k π i) = \cos (2 \sqrt{2} k π) + i \sin (2 \sqrt{2} k π)$ ，由于 $\sqrt{2}$ 是无理数，这些值都落在单位圆上且互不相同，主值为 $1$ 。

结果落在哪里，由底数与指数共同决定

例 2 与例 3 都落在正实轴上（这本身就反直觉）， $1^{\sqrt{2}}$ 落在单位圆上，一般情形则散布到整个平面上（模按几何级数伸缩、可无限接近 $0$ 也可无界，辐角稠密）。注意无论哪种情形，取值本身就是可数的一列点，不是一片区域。

反三角函数与反双曲函数

例 4： $\arccos 2$

由反三角函数与反双曲函数的对数表示

\arccos z = - i Ln (z + \sqrt{z^{2} - 1})

取 $z = 2$ ： $z^{2} - 1 = 3$ ，平方根取主值 $\sqrt{3}$ ，于是

\arccos 2 = - i Ln (2 + \sqrt{3}) = - i \ln (2 + \sqrt{3})

最后一步用了 $Ln$ 的主值（ $2 + \sqrt{3} > 0$ ，故主值取实对数）。结果为纯虚数，说明实 $\arccos$ 在 $[- 1, 1]$ 之外虽然无实值，但作为复函数仍处处有定义。

注意平方根 $\sqrt{z^{2} - 1}$ 也可取 $- \sqrt{3}$ ，此时 $z + \sqrt{z^{2} - 1} = 2 - \sqrt{3}$ ，得 $- i \ln (2 - \sqrt{3}) = i \ln (2 + \sqrt{3})$ ；再叠加对数带来的 $2 k π$ ， $\arccos 2$ 的全部取值就是

\pm i \ln (2 + \sqrt{3}) + 2 k π, k \in Z

两族取值互为相反数（差 $2 k π$ ），原因很直接： $w = \arccos z$ 即 $\cos w = z$ ，而 $\cos$ 是偶函数，所以 $\pm w$ 都是解。

例 5： $\arcsin i$

计算 $\arcsin i$ 。代入公式并取主值分支，注意 $i \cdot i = - 1$ 、 $\sqrt{1 - i^{2}} = \sqrt{2}$ ，于是

\arcsin i = - i Ln (- 1 + \sqrt{2}) = - i \ln (\sqrt{2} - 1) = i \ln (\sqrt{2} + 1)

最后一步用了 $\ln (\sqrt{2} - 1) = - \ln (\sqrt{2} + 1)$ 。结果纯虚，说明 $\arcsin$ 可以把纯虚数映为纯虚数，这一点在实函数中是无从谈起的（实 $\arcsin$ 只在 $[- 1, 1]$ 上有定义）。

算这类题的三步

化成指数形式：把底数或自变量写成 $r e^{i θ}$ ，明确 $r$ 与一个具体的 $θ$ ；
套公式并带上 $2 k π$ ：对数/复幂写全多值，方根写 $\frac{θ + 2 k π}{n}$ ，别漏掉 $θ$ 的除法；
按题意取分支：要主值就固定 $k = 0$ 并用 $\arg$ ，要全部值就保留 $k \in Z$ ，并说明取值集合的结构（有限个、无穷个、落在哪条曲线上）。

对数函数

例 1：Ln(−1) 与 ln⁡(−1)

幂函数

例 2：(−1)i 的全部值与主值

例 3：ii 的全部值与主值