最大模原理

定理（最大模原理）

若 $f$ 在区域 $D$ 内 解析 且不为常数，则 $|f(z)|$ 在 $D$ 内取不到最大值。换言之，不存在 $z_0\in D$ 使

常见的等价表述：若 $f$ 在 $D$ 内解析、在 $D$ 及其边界上连续，则 $\left|f\right|$ 在闭区域上的最大值在边界上取得。

证明思路

1. 先用 柯西积分公式 的平均值性质：$f(z_0)$ 等于它在以 $z_0$ 为心、半径足够小的圆周上的平均值（推导见该页）。
2. 设 $|f(z)|\le |f(z_0)|=M$ 在 $D$ 内处处成立。在圆周 $|z-z_0|=r$ 上处处有 $\left|f\right|\le M$，而平均值恰为 $|f(z_0)|=M$，只有当圆周上处处 $\left|f\right|=M$ 时才可能。
3. 于是 $\left|f\right|$ 在 $z_0$ 的小邻域内恒等于 $M$；对这样的点用 C-R方程 或直接用"解析函数的模为常数 ⇒ 函数为常数"，得 $f$ 在该邻域内为常数。
4. 由 唯一确定的解析函数与反射原理 的唯一性定理，$f$ 在整个 $D$ 内恒为常数，与假设矛盾。

推论

• 最小模原理：若 $f$ 在 $D$ 内解析、不为常数且处处不为零，则 $\left|f\right|$ 在 $D$ 内也取不到最小值（否则对 $1/f$ 用最大模原理）。
• 判断常数性：若 $\left|f\right|$ 在区域 $D$ 内取得局部极大值，则 $f$ 为常数。
• 估计的最大值落在边界：要估计区域内部 $\left|f\right|$ 的大小，只需检查边界上的值。

相关：解析、柯西积分公式、刘维尔定理与代数基本定理

教材 §50