指数函数

形式为

w = e^{z}

e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} (\cos y + i \sin y)

性质

指数函数在复平面上解析，且 $(e^{z})^{'} = e^{z}$
指数函数为单值函数
对于任意复数 $z_{1}, z_{2}$ ，有 $e^{z_{1}} e^{z_{2}} = e^{z_{1} + z_{2}}$
指数函数是实指数函数在复数域上的推广
在整个复平面上 $| e^{z} | = e^{x} > 0$ ，因此 $e^{z} \neq 0$ ：指数函数没有零点
$e^{z}$ 以 $2 π i$ 为周期

映射性质

$w = e^{z}$ 把水平带形域 $0 < Im z < α$ （ $0 < α \leq 2 π$ ）单叶地映成顶点在原点的角形域：其辐角范围恰为 $(0, α)$ ，横坐标 $x$ 决定模 $e^{x}$ ，纵坐标 $y$ 决定辐角。 $α = 2 π$ 时角形域张满整个 $w$ 平面去掉一条射线的部分。细节见函数映射。

教材 §28