支点与割线

问题从哪来

多值函数（$\mathrm{Ln}z$、$\sqrt{z}$、$\arcsin z$）不能在定义域上整体取单值。想把它们当普通解析函数用，办法是限制定义域：把平面剪开，只留一块区域，在区域上定义单值且解析的分支。这一页把"剪在哪里""为什么必须剪"说清楚。

支点

设 $f$ 在 $z_0$ 的某个去心邻域内可以解析延拓。若沿 $z_0$ 周围一个足够小的正向简单闭围道走一圈回到出发点后，$f$ 的值不能连续地回到原值，则称 $z_0$ 是 $f$ 的支点（分支点，branch point）。

直观判据：绕 $z_0$ 一圈，$\mathrm{Arg}(z-z_0)$ 增加 $2\pi$，凡是靠这个辐角定义的函数都会"接到另一层"上去。对 $f(z)=z^{1/n}$ 要绕 $n$ 圈才回到原值，此时称 $z_0$ 是 $n$ 阶支点（对数则在任何阶数下都回不去，绕多少圈都不同）。注意"阶"的记法各家不一，有的教材把 $z^{1/n}$ 的支点记作 $n-1$ 阶，读书时以书上的定义为准。

支割线

从支点出发、连到另一个支点或通向无穷的曲线 $L$ 称为支割线（割线，branch cut）。要求是：把 $L$ 从平面中去掉后，剩下的区域 $D=\mathbb{C}\setminus L$ 是单连通的，并且在 $D$ 上能定义 $f$ 的单值解析分支。

要点：

• 割线的选法不唯一；一旦选定割线，其上可用的分支族就定了（对 $\mathrm{Ln}z$ 仍有无穷多支，彼此相差 $2k\pi \mathrm{i}$）。换割线相当于换一组分支。
• 关键限制：若区域内存在一条绕过支点、且无法在区域内收缩成一点的闭曲线，单值分支就无处安放。对 $\mathrm{Ln}z$ 来说这意味着区域必须"看不到"绕原点的回路（环形域 $1<\left|z\right|<2$ 里就没有单值分支）——这与 调和函数 中"已知实部求解析函数需单连通"是同一件事的两种说法。
• 但也别把它说成"必须单连通"：$z^{1/n}$ 只要求区域内每条闭曲线绕支点的次数都是 $n$ 的倍数。例如环形域 $\{1<|z-10|<2\}$ 是二连通的，但它整个落在 $\left|z\right|\le 12$ 的范围内、不含原点，任何回路绕原点的次数都是 $0$，所以 $\sqrt{z}$ 与 $\mathrm{Ln}z$ 在其上都能取单值分支。（对照：以原点为心的环形域 $1<\left|z\right|<2$ 里有绕原点一圈的回路，那里就没有 $\mathrm{Ln}z$ 的单值分支。）
• 同一割破平面上不同分支之间的差别很规整：对数相差 $2k\pi \mathrm{i}$，方根相差因子 $e^{2\pi \mathrm{i}k/n}$。但换一条不同的割线得到的分支，一般并不等于原分支加常数。

典型例子

对数 $\mathrm{Ln}z=\ln \left|z\right|+\mathrm{i}\mathrm{Arg}z$：支点在 $z=0$ 与 $z=\mathrm{\infty }$（绕原点一圈辐角加 $2\pi$，回不到原值）。取割线为负实轴 $L=(-\mathrm{\infty },0]$，在 $D=\mathbb{C}\setminus (-\mathrm{\infty },0]$ 上规定 $-\pi <\arg z\le \pi$，就得到主值分支

若改用正实轴作割线，则在这一支上取辐角代表 $\theta \in (0,2\pi )$（注意 $\theta$ 已不再等于主值 $\arg z$，主值仍取 $(-\pi ,\pi ]$），得到的另一个分支在负实轴上与主值分支取值相同、在下半平面（$\mathrm{Im}z<0$）比主值分支大 $2\pi \mathrm{i}$。可见割线一换，新分支不是主值分支的常数平移；"各分支相差 $2k\pi \mathrm{i}$"这句话只在同一个割破平面内成立。详见 对数函数。

方根 $\sqrt{z}=e^{\frac{1}{2}\mathrm{Ln}z}$：支点同样是 $0$（绕两圈才回到原值）。割去负实轴后有两个分支

它们互为相反数，恰好对应"二次方程的两个根"。详见 幂函数。

反三角函数 $\arcsin z$、$\arccos z$：支点在 $z=\pm 1$，割线通常取 $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$，在剩下的区域上取主值分支；$z=\pm 1$ 处导数公式的分母为零、导数无界（函数值本身仍有界，如 $\arcsin 1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$）。详见 反三角函数与反双曲函数。

相关笔记

• 对数函数：支点 $0$、主值分支的完整讨论
• 幂函数：$z^c$ 的取值个数如何由 $c$ 决定
• 反三角函数与反双曲函数：支点 $\pm 1$、$\pm \mathrm{i}$ 的来源
• 单连通与多连通区域：为什么"割开"能换来单值性

教材 §29–§32、§35