单连通与多连通区域

单连通区域

若区域 $D$ 内任意一条简单闭曲线的内部都包含在 $D$ 中，则称 $D$ 是单连通区域，直观上就是"没有洞"。

若 $D$ 不是单连通的，则称为多连通区域。若 $D$ 内有 $n$ 个洞，则称 $D$ 是 $n+1$ 连通的，$n+1$ 称为它的连通度（连通阶数）。按这个记法单连通区域就是一连通的，环形域 $r<\left|z\right|<R$ 有一个洞，是二连通区域。

定理

若 $f$ 在单连通区域 $D$ 内 解析，则对 $D$ 内任意闭围道 $C$

这是 柯西-古萨定理 的单连通版本（简单闭围道的结论可以推广到任意闭围道，因为闭围道可以拆成若干简单闭围道之和）。

多连通区域：挖洞公式

设 $D$ 由外边界 $C$ 与内边界 $C_1,C_2,\dots ,C_n$ 围成（$D$ 有 $n$ 个洞），$f$ 在 $D$ 及这些边界上解析。把 $C$ 与每条 $C_k$ 都取各自的正向（即各自逆时针），则 $D$ 的正向边界是 $C-C_1-\cdots -C_n$：外边界逆时针走、每个洞的边界必须反向走，区域才始终位于行进方向左侧。对 $D$ 用 柯西-古萨定理 得

即

直观说法：沿外边界绕一圈的积分，等于沿每个洞各绕一圈（同向）之和——中间相邻的反向部分互相抵消，只剩外边界和洞的边界。

检验：取 $f(z)=1/z$，$D$ 为圆环 $1<\left|z\right|<2$，$C$ 为 $\left|z\right|=2$、$C_1$ 为 $\left|z\right|=1$，两者都逆时针。由 围道积分 的幂函数积分，${\oint }_{C}f\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}$、${\oint }_{C_1}f\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}$，等式两边相等，符合。

围道变形原理

若闭围道 $C_1$ 能在 $f$ 的解析区域内（不经过任何奇点）连续变形为 $C_2$，则

教材称这条为道路变形原理（§46 推论），是上面挖洞公式的直接推论，也是实际计算时最常用的说法：把难算的围道"捏"成一个方便计算的圆周。

例题

见 复变函数积分计算#单连通与多连通区域。

相关：围道、柯西积分公式、点集相关基本概念

教材 §46