乘幂和方根

复数乘幂

复数乘幂适合用指数形式计算。令 $z = r e^{i θ}$ （ $r = | z |$ ， $θ$ 是 $z$ 的某个辐角，见复数的指数形式），则对一切整数 $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

z^{n} = r^{n} e^{i n θ} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)

为正整数时它就是 $n$ 个相同因子相乘； $n$ 为负整数时由 $z^{- 1} = \overset{―}{z} / {| z |}^{2}$ 归纳得到。 $n = 0$ 时 $z^{0} = 1$ ； $n \leq 0$ 时整体要求 $z \neq 0$ （ $0^{0}$ 无定义）。

当 $r = 1$ 时得到 de Moivre 公式（棣莫弗公式）

{(\cos θ + i \sin θ)}^{n} = \cos n θ + i \sin n θ

若 $w^{n} = z$ ，则称 $w$ 是 $z$ 的 $n$ 次方根，记作 $w = \sqrt[n]{z}$ 。

设 $z = r e^{i θ} \neq 0$ 、 $w = ρ e^{i φ}$ ，由 $w^{n} = z$ 得

ρ^{n} = r, n φ = θ + 2 k π (k \in Z)

即

ρ = \sqrt[n]{r}, φ = \frac{θ + 2 k π}{n} = \frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n}

因此 $w$ 的辐角取值集合是

Arg w = {\frac{θ + 2 k π}{n} : k \in Z}

注意 $θ$ 必须整个除以 $n$ 。取 $k = 0, 1, \dots, n - 1$ 就得到 $n$ 个互不相同的值，继续增大 $k$ 只是重复这些值，故

w = \sqrt[n]{r} \exp (i \frac{θ + 2 k π}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1

这 $n$ 个根落在以原点为心、 $\sqrt[n]{r}$ 为半径的圆上，构成内接正 $n$ 边形（相邻两根辐角相差 $2 π / n$ ）。

上述整数乘幂与 $n$ 次方根分别是 $z^{c} = e^{c Ln z}$ 在 $c = n$ 与 $c = \frac{1}{n}$ 时的特殊情形； $z^{p / q}$ 与一般复幂的取值个数、主值及求导见幂函数。