幂函数

定义

设 $c$ 为复常数， $z \neq 0$ 。复幂（复指数）定义为

z^{c} = e^{c Ln z}

其中 $Ln z$ 是多值对数。 $Ln z$ 的多值性会直接传给 $z^{c}$ ，因此 $z^{c}$ 一般是多值函数：取定 $Ln z$ 的一个分支，就得到 $z^{c}$ 的一个单值解析分支。

底数不能为零

定义要求 $z \neq 0$ 。

取值的个数

把对数写成 $Ln z = \ln | z | + i (\arg z + 2 k π)$ ，则

z^{c} = e^{c \ln | z |} e^{i c \arg z} e^{2 k π i c}

多值性完全由因子 $e^{2 k π i c}$ （ $k \in Z$ ）决定：

$c = n$ 为整数： $e^{2 k π i n} = 1$ ， $z^{n}$ 单值，与乘幂和方根中整数次幂的定义一致；
$c = \frac{p}{q}$ 为最简分数（ $q \geq 2$ ）： $e^{2 k π i p / q}$ 只取 $q$ 个不同的值，故 $z^{p / q}$ 恰有 $q$ 个值；
$c$ 为其它复数（无理实数、虚数、一般复数）： $z^{c}$ 取无穷多个值。

主值

取 $Ln z$ 的主值 $\ln z = \ln | z | + i \arg z$ （主值辐角满足 $- π < \arg z \leq π$ ），得到 $z^{c}$ 的主值，也记作 $z^{c}$ ：

z^{c} = e^{c \ln z}

由于主值与多值用同一个记号 $z^{c}$ ，书写时要靠上下文区分：说" $z^{c}$ 是单值解析分支"时指的是某个分支（常取主值分支），说" $z^{c}$ 有 $q$ 个值"时指的是多值函数整体。
$c = n$ 为整数时主值与上面的单值结果完全相同，这与实变量中乘幂的定义相符； $c = p / q$ 时主值只是 $q$ 个值中的一个；一般情形主值只是无穷多个值中的一个。

记忆要点

底数的辐角提供“旋转”， $c$ 的取值决定旋转多少圈：整数圈回到出发点（单值），有理数圈回到有限个位置（有限多值），无理数圈永不重合（无穷多值）。

导数

设 $f (z) = z^{c}$ 是 $z^{c}$ 的一个单值分支，即 $f (z) = e^{c \ln z}$ ，其中 $\ln z$ 是该分支上选定的单值对数（ $Ln z$ 的一个分支）。由复合函数求导得

f^{'} (z) = e^{c \ln z} \cdot \frac{c}{z} = c z^{c - 1}, z \neq 0

因此由解析的运算法则可知：取定分支后复幂在其定义域内解析（ $z = 0$ 须排除在外），且求导公式与实变量完全一致；

例题

见初等函数多值与分支#幂函数。

定义

取值的个数

主值

导数

例题

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