微分

可导与可微

设函数 $f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，$z=x+\mathrm{i}y\in D$，则 $f(z)$ 在 $z$ 点可微的充要条件：

• $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微
• $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 满足 C-R方程

可微与可导等价

若增量可以分解为

则称 $f(z)$ 在 $z$ 可微，并称线性主部 $f^{\prime }(z)\mathrm{\Delta }z$ 为 $f$ 在 $z$ 处的微分，记作 $\mathrm{d}w=f^{\prime }(z)\mathrm{d}z$。

由分解式立刻得到

故可微必可导；反过来，$f$ 在 $z$ 可导时取 $\rho (\mathrm{\Delta }z)=f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)-f^{\prime }(z)\mathrm{\Delta }z$，则 $\rho (\mathrm{\Delta }z)/\mathrm{\Delta }z\to 0$，分解式成立，故可导必可微。因此可微与可导等价，微分系数就是导数，术语“可微”与“可导”在复变函数中可以互换使用（导数本身的定义与求法见 导数）。

教材 §19