模与共轭复数

定义

设 $z = x + i y$ 。 $z$ 的模定义为

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$z$ 的共轭复数定义为

\overset{―}{z} = x - i y

几何上， $| z |$ 是点 $z$ 到原点的距离，即向量 $z$ 的长度； $\overset{―}{z}$ 是 $z$ 关于实轴的对称点。两者配合能把对称点的差别说清楚： $- \overset{―}{z}$ 才是 $z$ 关于原点的对称点。

对任意两点 $z_{1}, z_{2}$ ， $| z_{1} - z_{2} |$ 就是它们之间的距离，于是不等式 $| z - z_{0} | < ε$ 恰好刻画 $z_{0}$ 的 $ε$ 邻域（见点集相关基本概念）。

基本性质

由定义直接得到

z \overset{―}{z} = (x + i y) (x - i y) = x^{2} + y^{2} = {| z |}^{2}

Re z = \frac{z + \overset{―}{z}}{2}, Im z = \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i}

$| \overset{―}{z} | = | z |$ ， $\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$
$z \overset{―}{z} = 0$ 当且仅当 $z = 0$
$\overset{―}{z} = z$ 当且仅当 $z$ 为实数； $\overset{―}{z} = - z$ 当且仅当 $z$ 为纯虚数或 $z = 0$
$| Re z | \leq | z |$ ， $| Im z | \leq | z |$

共轭与四则运算

共轭运算与加、减、乘、除都可交换次序：

\overset{―}{z_{1} \pm z_{2}} = \overset{―}{z_{1}} \pm \overset{―}{z_{2}}

\overset{―}{z_{1} z_{2}} = \overset{―}{z_{1}} \overset{―}{z_{2}}, \overset{―}{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\overset{―}{z_{1}}}{\overset{―}{z_{2}}} (z_{2} \neq 0)

反复使用即得 $\overset{―}{z^{n}} = {(\overset{―}{z})}^{n}$ 。这些等式都能把两边写成 $x + i y$ 后逐项比对。

模的运算性质

积与商的模等于模的积与商：

| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |, | \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} (z_{2} \neq 0)

证明第一个等式只用 $z \overset{―}{z} = {| z |}^{2}$ ：

{| z_{1} z_{2} |}^{2} = (z_{1} z_{2}) \overset{―}{(z_{1} z_{2})} = (z_{1} \overset{―}{z_{1}}) (z_{2} \overset{―}{z_{2}}) = {| z_{1} |}^{2} {| z_{2} |}^{2}

两边开方即得（模非负）。商的等式可由 $z_{1} = z_{2} \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 推出。

三角不等式

对任意 $z_{1}, z_{2}$ ：

| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |

几何含义是三角形两边之和不短于第三边：把 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 首尾相接， $| z_{1} + z_{2} |$ 是第三边的长度。

证明的关键一步是

{| z_{1} + z_{2} |}^{2} = {| z_{1} |}^{2} + 2 Re (z_{1} \overset{―}{z_{2}}) + {| z_{2} |}^{2}

而 $Re (z_{1} \overset{―}{z_{2}}) \leq | z_{1} \overset{―}{z_{2}} | = | z_{1} | | z_{2} |$ ，代入即得结论。等号成立当且仅当 $z_{1} \overset{―}{z_{2}}$ 为非负实数，即两点同向（含某点为零的情形）。

反向形式由它与减法得到（把 $z_{1}$ 换成 $z_{1} - z_{2}$ ）：

| | z_{1} | - | z_{2} | | \leq | z_{1} - z_{2} |

常用变形

由三角不等式立刻得到 $| z_{1} + z_{2} | \geq | | z_{1} | - | z_{2} | |$ ，估算分母不为零、证明 $f (z)$ 有界时常用。

例题

见复数运算与几何表示#模与共轭复数。

定义

基本性质

共轭与四则运算

模的运算性质

三角不等式

例题

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