复数运算与几何表示

本页收集 复数的代数运算、模与共轭复数、复数的指数形式、乘幂和方根 四篇概念笔记中的例题，按来源概念分节。

复数的代数运算

计算 $(1+3\mathrm{i})(2-5\mathrm{i})$ 与 ${\displaystyle \frac{1+3\mathrm{i}}{2-5\mathrm{i}}}$。

乘法按分配律展开：

除法分子分母同乘 $2+5\mathrm{i}$，分母变成 $2^2+5^2=29$：

回代验证：$(2-5\mathrm{i})(-{\displaystyle \frac{13}{29}}+{\displaystyle \frac{11}{29}}\mathrm{i})=1+3\mathrm{i}$，结果正确。

模与共轭复数

设 $z=3+4\mathrm{i}$，$w=1-2\mathrm{i}$，求 $\left|zw\right|$ 与 $\overline{z/w}$，并检验三角不等式。

$\left|z\right|=5$，$\left|w\right|=\sqrt{5}$，由模的乘法性质得 $\left|zw\right|=5\sqrt{5}$；直接计算 $zw=(3+4\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=11-2\mathrm{i}$，同样得 $\left|zw\right|=\sqrt{121+4}=5\sqrt{5}$，两者一致。

求商时分子分母同乘 $\bar{w}=1+2\mathrm{i}$，分母为 ${\left|w\right|}^2=5$：

故 $\overline{z/w}=-1-2\mathrm{i}$，且 $\left|z/w\right|=\sqrt{5}=\left|z\right|/\left|w\right|$。另外 $z+w=4+2\mathrm{i}$，$|z+w|=\sqrt{20}\approx 4.47$，而 $\left|z\right|+\left|w\right|=5+\sqrt{5}\approx 7.24$，三角不等式成立。

复数的指数形式

用指数形式计算 ${\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{-1+\mathrm{i}}}$。

先把分子、分母写成极坐标：$\mathrm{i}$ 位于虚轴正半轴，模为 $1$、辐角为 $\pi /2$；$-1+\mathrm{i}$ 位于第二象限：

于是

最后一步用了 $e^{-\mathrm{i}\pi /4}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$。用共轭复数法验算：${\displaystyle \frac{\mathrm{i}(-1-\mathrm{i})}{2}}={\displaystyle \frac{1-\mathrm{i}}{2}}$，结果一致。

乘幂和方根

求 $\mathrm{i}$ 的平方根。

由 $\mathrm{i}=e^{\mathrm{i}\pi /2}$ 得 $r=1$、$\theta =\pi /2$、$n=2$，于是

即 $e^{\mathrm{i}\pi /4}={\displaystyle \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}}$ 与 $e^{\mathrm{i}5\pi /4}=-{\displaystyle \frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}}$。两者互为相反数，平方都等于 $\mathrm{i}$，与"二次方程有两个根"一致。

相关笔记

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教材 §1–§8