对数函数

若 $z = e^{w}$ ，则 $w$ 称为 $z$ 的对数函数，记为 $w = Ln z$ 。

令 $w = u + i v$ ， $z = r e^{i θ}$ ，由 $e^{u} e^{i v} = r e^{i θ}$ 得

e^{u} = r, v = θ + 2 k π

即

u = \ln r = \ln | z |, v = Arg z

因此

Ln z = \ln | z | + i Arg z = \ln | z | + i (\arg z + 2 k π), k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots

符号约定

$Arg z$ 表示 $z$ 的全部辐角组成的集合（多值）， $\arg z$ 表示辐角主值，取 $- π < \arg z \leq π$ ； $Ln z$ 的多值性完全来自辐角中的 $2 k π$ 项。

主值分支与导数

要得到单值函数，（见支点与割线）。最常用的是取 $- π < \arg z \leq π$ 且 $k = 0$ ，即主值对数

\ln z = \ln | z | + i \arg z

它在割去负实轴的区域内解析，且

\frac{d}{d z} \ln z = \frac{1}{z}

理由是 $z = e^{w}$ 的导数为 $e^{w} = z$ ，由反函数求导法则得 $\frac{d w}{d z} = \frac{1}{d z / d w} = \frac{1}{z}$ 。若改从原点出发的其它射线作割线，解析区域随之改变，但导数公式不变；各分支之间只相差常数 $2 k π i$ ，所以多值性来自分支的选取而不是导数。

指数函数与对数函数合起来给出复幂的定义，见幂函数。

例题

见初等函数多值与分支#对数函数。

教材 §29–§31