点集相关基本概念

1. 邻域：设 $z_0\in \mathbf{C}$，$\epsilon \in (0,+\mathrm{\infty })$，则 $z_0$ 的 $\epsilon$ 邻域定义为 $U(z_0,\epsilon )=\{z\mid |z-z_0|<\epsilon ,z\in \mathbf{C}\}$
2. 内点：存在 $r>0$ 使得 $U(z_0,r)\subseteq E$，则 $z_0$ 为 $E$ 的内点
3. 开集：所有点均为内点的集合（开区间）
4. 边界： 记为 $\partial E$
5. 闭包：$E\cup \partial E$ 为 $E$ 的闭包，记为 $\bar{E}$
6. 聚点：若 $z_0$ 的任意邻域内都含有 $E$ 中异于 $z_0$ 的点，则 $z_0$ 为 $E$ 的聚点（$z_0$ 本身可以不属于 $E$）
7. 闭集：若 $E$ 包含它的全部聚点（等价地 $\partial E\subseteq E$，即 $E=\bar{E}$），则 $E$ 为闭集
8. 连通集：若 $E$ 中任意两点都能用完全落在 $E$ 内的折线连接，则 $E$ 为连通集

区域

如果复平面上非空集合 $D$ 满足：

• $D$ 是开集
• $D$ 中任意两点可以用属于 $D$ 的折线连接（即 $D$ 连通）

则 $D$ 是一个区域（非空连通开集）。

1. 闭区域：区域 $D$ 及其边界点的集合
2. 有界区域：若存在 $M>0$ 使 $D$ 内任何一点 $z_0$ 都满足 $\left|z_0\right|<M$，则 $D$ 为有界区域，即 $D$ 能被某个圆盘 $\left|z\right|<M$ 盖住

简单闭曲线

不自交的闭曲线称为简单闭曲线：$z=z(t)$（$\alpha \le t\le \beta$）连续、$z(\alpha )=z(\beta )$，且当 $t_1\ne t_2$（$t_1,t_2\in [\alpha ,\beta )$）时 $z(t_1)\ne z(t_2)$。它是 围道 中最基本的情形，也是柯西积分定理所要求的边界。

教材 §10