反三角函数与反双曲函数

一般方法

反三角函数不是新引入的函数，而是“解方程 + 取对数”。以 $w = \sin z$ 为例，已知 $w$ 而反求 $z$ ：把定义改写为

\frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} = w

令 $ζ = e^{i z}$ ，两边乘以 $2 i ζ$ 得二次方程

ζ^{2} - 2 i w ζ - 1 = 0

解得 $ζ = i w + \sqrt{1 - w^{2}}$ （另一个根只差一个符号），再由 $i z = Ln ζ$ 得

z = - i Ln (i w + \sqrt{1 - w^{2}})

这就是反正弦的对数表示。 $\arccos$ 、 $\arctan$ 以及反双曲函数都用同一套路：写成指数形式、得到关于 $e^{i z}$ （或 $e^{z}$ ）的二次方程、解出后取对数。

把上式的 $w$ 改记为 $z$ ，得到

\arcsin z = - i Ln (i z + \sqrt{1 - z^{2}})

\arccos z = - i Ln (z + \sqrt{z^{2} - 1})

\arctan z = \frac{i}{2} Ln \frac{i + z}{i - z}

其中平方根取两个值， $Ln$ 取无穷多个值。 $\arctan$ 的推导稍不同：由 $\tan w = z$ 得

\frac{e^{i w} - e^{- i w}}{i (e^{i w} + e^{- i w})} = z ⟹ e^{2 i w} = \frac{i - z}{i + z}

再取对数即得上式。

与实函数的关系

当 $z = x$ 为实数且 $| x | \leq 1$ 时，只要把平方根与 $Ln$ 都取成主值分支，上述公式就给出实值，与实反三角函数一致。

由于方根二值、对数无穷多值，反三角函数在复平面上是多值函数：

$\arcsin z$ 、 $\arccos z$ 的分支点在 $z = \pm 1$ ， $\arctan z$ 的分支点在 $z = \pm i$ （支点与割线的含义见支点与割线）；
取定平方根的一个值和 $Ln$ 的一个分支后，得到单值解析分支；分支区域通常取成从分支点出发的割破平面；
恒等式 $\arcsin z + \arccos z = \frac{π}{2}$ 只在割破平面 $C ∖ ((- \infty, - 1] \cup [1, + \infty))$ 上成立：在那个区域里两者都解析、其差是常数，再由 $z = 0$ 定出常数为 $\frac{π}{2}$ ；
在割线上这个恒等式不再成立。取辐角范围 $(- π, π]$ 、平方根与对数都取主值，则 $z = 2$ 给出

\arcsin 2 = \frac{π}{2} - i \ln (2 + \sqrt{3}), \arccos 2 = - i \ln (2 + \sqrt{3})

两者之和为 $\frac{π}{2} - 2 i \ln (2 + \sqrt{3}) \neq \frac{π}{2}$ 。（ $z = 2$ 正落在割线上，从另一侧逼近会得到虚部反号的结果，所以割线上的"主值"本身依赖约定。）

若希望恒等式处处成立，就反过来定义 $\arccos z := \frac{π}{2} - \arcsin z$ ；代价是它与上面 $\arccos$ 的对数主值公式在割线上不再一致。

在选定的单值解析分支上，可直接对反函数求导。设 $w = \arcsin z$ ，则 $z = \sin w$ ，故

\frac{d w}{d z} = \frac{1}{\cos w} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} w}} = \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}

同理

(\arccos z)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}, (\arctan z)^{'} = \frac{1}{1 + z^{2}}

这些公式的成立范围要排除 $\cos w = 0$ 的点，即 $z = \pm 1$ ；对 $\arctan$ 而言只需避开分支点 $z = \pm i$ 。此外结果还必须与所选分支相容。

符号要跟着分支走

$\sqrt{1 - z^{2}}$ 的符号由分支确定，不能照搬实函数的“取正根”习惯；换分支时导数可能整体变号。

同一方法用于双曲函数，得到

arcsinh z = Ln (z + \sqrt{z^{2} + 1}), arctanh z = \frac{1}{2} Ln \frac{1 + z}{1 - z}

它们与反三角函数通过虚数单位互换：

arcsinh z = - i \arcsin (i z)

在分支相容的意义下，把上式展开即可回到对数表示，因此反双曲函数的解析性、分支点和求导公式都可以由反三角函数平移得到，例如

(arcsinh z)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}}