复数的指数形式

极坐标与辐角

设 $z = x + i y \neq 0$ ，令 $r = | z |$ ， $θ$ 为实轴正向到向量 $z$ 的夹角，则

x = r \cos θ, y = r \sin θ, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

有序对 $(r, θ)$ 就是 $z$ 的极坐标， $θ$ 称为 $z$ 的辐角。

辐角不唯一： $θ$ 与 $θ + 2 k π$ 表示同一点，所以 $z$ 的辐角有无穷多个。把它们全体记作 $Arg z$ ；把辐角限制在 $(- π, π]$ 内得到唯一的值，称为辐角主值，记作 $\arg z$ 。于是

Arg z = \arg z + 2 k π, k \in Z, - π < \arg z \leq π

）。

| z | = 0

时辐角无定义。

与教材记号的对照（读原书必看）

Brown & Churchill 原书的约定与本库恰好相反：教材用 $a r g z$ 表示全部辐角（多值），用 $A r g z$ 表示辐角主值（单值）。对数同理：教材 $l o g z$ 多值、 $L o g z$ 主值，本库则写作 $Ln z$ （多值）/ $\ln z$ （主值）。
对照规则只有一句：教材的 $a r g$ ↔ 本库的 $Arg$ ，教材的 $A r g$ ↔ 本库的 $\arg$ 。按这条翻译，教材 §7 中 $a r g (z_{1} z_{2}) = a r g z_{1} + a r g z_{2}$ （集合意义）与" $A r g$ 一般不满足加法"就不矛盾了。

辐角不能当实数直接相加

$Arg$ 是多值的， $Arg (z_{1} z_{2}) = Arg z_{1} + Arg z_{2}$ 只在"集合意义"下成立。主值一般不满足该等式，只能保证

\arg (z_{1} z_{2}) = \arg z_{1} + \arg z_{2} + 2 k π, k \in {- 1, 0, 1}

欧拉公式与指数形式

欧拉公式把指数函数与三角函数联系起来：

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ, θ \in R

代入极坐标 $x = r \cos θ$ 、 $y = r \sin θ$ ，得 $z$ 的指数形式

z = r e^{i θ}, r = | z | > 0

由于 $| e^{i θ} | = 1$ ，因子 $e^{i θ}$ 只控制方向（单位圆上的点），因子 $r$ 只控制到原点的距离。共轭与倒数随之变得简单：

\overset{―}{z} = r e^{- i θ}, \frac{1}{z} = \frac{\overset{―}{z}}{{| z |}^{2}} = \frac{1}{r} e^{- i θ}, z \neq 0

指数形式的乘除法

设 $z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$ ， $z_{2} = r_{2} e^{i θ_{2}}$ ，由指数函数的加法定理 $e^{i θ_{1}} e^{i θ_{2}} = e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ 得

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}, \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})} (z_{2} \neq 0)

即模相乘（相除）、辐角相加（相减），与模与共轭复数中模的性质一致。

几何意义：乘 $z_{2}$ 就是把 $z_{1}$ 绕原点旋转 $θ_{2}$ 角，再把长度伸缩为原来的 $| z_{2} |$ 倍；除以 $z_{2}$ 则反向旋转 $θ_{2}$ 角、把长度缩短为原来的 $1 / | z_{2} |$ 倍。特别地乘 $e^{i θ}$ 是纯旋转，乘正实数 $k$ 是纯伸缩。

什么时候用指数形式

涉及乘、除、乘幂、开方的计算用指数形式最快；涉及加减、实部虚部的计算用 $x + i y$ 最快。

与其他概念的联系

把上述乘法用于 $z$ 与自身反复相乘，以及反过来由 $w^{n} = z$ 求 $w$ ，就得到乘幂与开方；方根之所以有 $n$ 个值，正是因为要对辐角集合 $Arg z$ 整体除以 $n$ ，具体推导见乘幂和方根，此处不重复。
$w = e^{z}$ 正是把 $z = x + i y$ 的实部当作模、虚部当作辐角的映射，见指数函数与函数映射。

例题

见复数运算与几何表示#复数的指数形式。

极坐标与辐角

欧拉公式与指数形式

指数形式的乘除法

与其他概念的联系

例题

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