唯一确定的解析函数与反射原理

解析函数比实函数"刚性"得多：只要在一个很小的集合上知道它的值，就足以决定它在整个区域内的值。本页记录这一现象的两个标准形式——唯一确定性定理与施瓦茨反射原理。

唯一确定性定理

设 $D$ 是区域（即非空连通开集，见点集相关基本概念）， $f$ 在 $D$ 内解析。若存在点集 $E \subseteq D$ ，它在 $D$ 内有聚点（即有极限点 $z_{0} \in D$ ），并且 $f$ 在 $E$ 上恒等于 $0$ ，则

f (z) = 0, z \in D

即 $f$ 在 $D$ 内恒为零函数。

定理中的 $E$ 可以是无穷点集、某条线段、某段圆弧，也可以是一个子区域。关键在于聚点必须落在 $D$ 内——这正是 $D$ 连通性的用处：唯一性先从聚点附近的一个小圆盘出发，再沿连接该点的折线一步步推到整个 $D$ 。

等价的"延拓"表述：若 $f, g$ 都在 $D$ 内解析，且在一个在 $D$ 内有聚点的子集上相等，则 $f$ 与 $g$ 在整个 $D$ 内相等。

条件不能放宽

只说"在某点集上相等"是不够的： $D = C ∖ {0}$ 上的 $f (z) = \sin \frac{π}{z}$ 解析，其零点 $\frac{1}{k}$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）有无穷多个，聚点 $0$ 却不属于 $D$ ，所以 $f$ 并不恒为零。另外 $D$ 必须连通：在互不相交的两块区域上分别给定函数值，彼此之间没有任何约束。

由局部值唯一决定

把定理用在 $f - g$ 上，得到最常用的推论形式：

解析函数在 $D$ 内由它在任意一个子区域、任意一段曲线（只要该集合在 $D$ 内有聚点）上的值唯一决定；
若两个解析函数在某点的一个邻域内相同，则它们在该邻域所属的整个区域内相同；
若解析函数在一段收敛于 $D$ 内某点的点列上取值为零，则它恒为零；反过来，不恒为零的解析函数其零点都是孤立的，零点集合不可能在 $D$ 内有聚点。

这类结论也是把实恒等式搬到复平面上的常用理由：例如 $\sin^{2} z + \cos^{2} z = 1$ 在实轴上成立，而两边都是整函数，于是它在整个 $C$ 上成立（见三角函数）。注意这里说的是"值被决定"，不涉及任何一致收敛或逼近的额外假设。

施瓦茨反射原理

设 $f$ 在区域 $D$ 内解析， $D$ 以实轴上的一条线段 $L$ 为边界的一部分，且当 $z$ 从 $D$ 内趋于 $L$ 上任一点时 $f (z)$ 趋于实数（特别地， $f$ 在 $L$ 上取实值并且连续延拓到 $L$ ）。又设 $D^{*}$ 是 $D$ 关于实轴的对称区域

D^{*} = {\overset{―}{z} ∣ z \in D}

延拓公式

此时 $f$ 可以解析延拓到 $D \cup L \cup D^{*}$ ，在 $D^{*}$ 上定义为

f (z) = \overset{―}{f (\overset{―}{z})}, z \in D^{*}

交叉验证：若 $z$ 位于 $D$ ，则上式右端回到 $\overset{―}{f (\overset{―}{z})} = \overset{―}{\overset{―}{f (z)}} = f (z)$ ；若 $z \in L$ ，则 $f (z) = \overset{―}{f (z)}$ ，恰为实数，与边界条件吻合。

这一公式的意思是：定义在关于实轴对称的两个区域上的解析函数可以互相确定，上半平面的"数据"通过共轭反射完全决定下半平面的值。验证它在 $D^{*}$ 内解析的要点，是说明 $z \mapsto \overset{―}{f (\overset{―}{z})}$ 满足 C-R 方程，并在 $L$ 上与原函数光滑拼接。

反射原理对调和函数同样成立：若 $u$ 在上半平面的区域内调和，且当点趋于上方的边界线段 $L$ 时 $u \to 0$ ，则用 $u (z) = - u (\overset{―}{z})$ 作奇延拓，即得整个对称区域上的调和函数；若边界值为常数 $c$ ，则改用 $u (z) = 2 c - u (\overset{―}{z})$ ，即关于 $c$ 的对称延拓。这与解析情形"半边的值决定另一半"是同一件事，区别只在于调和函数没有 C-R 约束、公式里用不到共轭，因此偶、奇延拓的符号要按边界值的取值单独选取。

教材 §26–§27