柯西积分公式

定理（柯西积分公式）

设 $f$ 在一条沿正向的简单闭围道 $C$ 上及其内部处处解析， $z_{0}$ 是 $C$ 内部的任意一点，则

f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z

写成便于计算积分的形式：

\oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = 2 π i f (z_{0})

意义

解析函数在区域内部的取值完全由它在边界上的取值决定。这是解析函数"刚性"的最直接表现：边界上的一小段信息就能锁死内部的全部取值（与唯一确定的解析函数与反射原理是同一主题）。

平均值性质

取 $C$ 为以 $z_{0}$ 为心、 $ρ$ 为半径的正向圆周，代入 $z = z_{0} + ρ e^{i θ}$ 、 $d z = i ρ e^{i θ} d θ$ ，柯西积分公式给出

f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{f (z_{0} + ρ e^{i θ})}{ρ e^{i θ}} i ρ e^{i θ} d θ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + ρ e^{i θ}) d θ

即解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值。这条性质在实数域没有对应者（实可微函数的中心值一般不等于平均值），也是最大模原理的直接来源：若 $| f |$ 在圆心取到最大值，圆周上的平均值不可能更大，只能处处相等。

证明思路

以 $z_{0}$ 为心作足够小的正向圆周 $C_{ρ}$ （半径 $ρ$ ，完全位于 $C$ 内部）。被积函数 $\frac{f (z)}{z - z_{0}}$ 在 $C$ 与 $C_{ρ}$ 之间的区域解析，由单连通与多连通区域的挖洞公式

\oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = \oint_{C_{ρ}} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z

把 $f (z)$ 拆成 $f (z_{0}) + [f (z) - f (z_{0})]$ ，第一项

\oint_{C_{ρ}} \frac{f (z_{0})}{z - z_{0}} d z = f (z_{0}) \oint_{C_{ρ}} \frac{d z}{z - z_{0}} = 2 π i f (z_{0})

第二项由 $f$ 在 $z_{0}$ 连续：对任意 $ε > 0$ ，取 $ρ$ 足够小使 $| f (z) - f (z_{0}) | \leq ε$ 在 $C_{ρ}$ 上成立，由积分模的上界

| \oint_{C_{ρ}} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} d z | \leq \frac{ε}{ρ} \cdot 2 π ρ = 2 π ε \to 0

两式相加并令 $ε \to 0$ 即得结论。

围道经过奇点时公式失效

例如计算 $\oint_{| z - i | = 1} \frac{d z}{z^{2} + 1}$ （见柯西积分公式应用#柯西积分公式）时，若把围道换成 $| z | = 1$ ，则 $\pm i$ 恰好落在围道上，被积函数在围道上无定义，柯西积分公式与高阶导数公式都不能直接用。选围道时要先检查奇点与围道的位置关系。

用公式前必须先判断

z_{0}

与围道的位置关系。若被积函数的奇点全在

C

外部，则被积函数在

C

上及内部解析，由柯西-古萨定理积分直接为

0

。围道内部有多个奇点时，要拆成多个"单奇点"积分分别算。

例题

见柯西积分公式应用#柯西积分公式。

相关：柯西-古萨定理、解析函数的导数公式、围道积分

教材 §47