调和函数

定义

若二元实函数 $ψ (x, y)$ 在 $D$ 内有连续二阶偏导数且满足 $\nabla^{2} ψ = 0$ ，则 $ψ (x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数。

区域 $D$ 内的解析函数，其实部和虚部都是 $D$ 内调和函数，二者又称一对共轭调和函数；实部与虚部之间的这种约束正是 C-R方程。

前提：区域得让积分与路径无关

给定调和函数 $u$ ，未必存在单值解析函数 $f$ 使 $Re f = u$ 。教材保证存在性的条件是 $D$ 为单连通区域；更精确地说，障碍是有某条 $D$ 内的闭回路 $γ$ 使共轭微分 $d v = - u_{y} d x + u_{x} d y$ 的周期 $\oint_{γ} d v \neq 0$ （由 C-R 方程，这正是 $d v = v_{x} d x + v_{y} d y$ ）。反例： $u = \ln | z |$ 在圆环 $1 < | z | < 2$ 上调和，但圆环内不存在这样的单值 $f$ 。因为若存在，由 $f^{'} (z) = u_{x} - i u_{y} = \frac{1}{z}$ 知 $f$ 必是 $Ln z$ 某分支的平移，而绕原点一周辐角增加 $2 π$ ， $f$ 回不到原值，与单值性矛盾（这条周期正是 $\oint_{γ} d v = 2 π$ ）。
反过来，非单连通并不必然导致失败：在 ${1 < | z - 10 | < 2}$ 这类与原点可分离的二连通区域上， $\ln | z |$ 仍有共轭调和函数（此时 $Ln z$ 能取单值分支，见支点与割线）。注意判据的关键是"哪条回路"，不是"绕不绕原点"：对 $u = \ln | z - 5 |$ ，失败的是 ${1 < | z - 5 | < 2}$ 中绕 $z = 5$ 的回路，虽然它们绕原点都是 $0$ 圈。下面两种方法都默认 $D$ 单连通（此时不定积分与路径无关，见原函数与积分路径无关），这是考试范围内最稳妥的设定。

共轭调和函数求解-不定积分法

解析函数 $f (z)$ 的导数仍然为解析函数，且满足

f^{'} (z) = u_{x} - i u_{y} = v_{y} + i v_{x}

因此在单连通区域上，只要知道 $u (x, y)$ 或者 $v (x, y)$ 就可以得到 $f^{'} (z)$ ，再令

x = \frac{z + \overset{―}{z}}{2}, y = \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i}

由于解析函数形式上不含

\overset{―}{z}

，因此可令上式的

\overset{―}{z} = 0

。

最后对 $f^{'} (z)$ 积分

f (z) = \int f^{'} (z) d z

将 $z = x + i y$ 回带即可。导数公式的来源见导数（若要看"解析函数的导数仍解析"这一点，见解析函数的导数公式）。

已知虚部求解析函数

上面的做法是“已知实部 $u$ 求 $f$ ”；已知虚部 $v (x, y)$ 时步骤完全对称，只是换用导数公式的另一半

f^{'} (z) = v_{y} + i v_{x}

随后的步骤与上面一致：

用 $x = \frac{z + \overset{―}{z}}{2}$ 、 $y = \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i}$ 把 $f^{'} (z)$ 化为 $z$ 的函数，并令 $\overset{―}{z} = 0$ ；
积分 $f (z) = \int f^{'} (z) d z$ ，得到含一个任意复常数 $C$ 的 $f$ ；
用给定的 $v (x, y)$ 定出 $C$ ：已知 $v$ 时 $C$ 为实数，已知 $u$ 时 $C$ 为纯虚数（已给定的那一部分决定常数的相应分量）。

教材 §25