围道

#复变函数/第4章

复变函数的积分是在"曲线"上做的，而不再是实轴上的区间。本节把"曲线"说得足够好，好到能对它积分。

曲线与参数表示

复平面上的一条曲线（弧）用实参数表示为

z (t) = x (t) + i y (t), a \leq t \leq b

其中 $x (t), y (t)$ 是连续实函数，这样的曲线称为弧。

光滑弧与围道

光滑弧： $z^{'} (t)$ 连续且处处不为零（曲线有连续转动的切线）
围道：由有限条光滑弧首尾相接而成的曲线，即分段光滑弧
围道的长度：

L = \int_{a}^{b} | z^{'} (t) | d t

教材把"围道"作为积分路径的标准用词，后面所有

\oint_{C} f (z) d z

中的

C

都指围道。

简单曲线与简单闭曲线

简单弧： $z (t_{1}) = z (t_{2})$ 仅在 $t_{1} = t_{2}$ 时成立，即曲线不自交
简单闭曲线： $z (a) = z (b)$ 且除此之外不自交
Jordan 定理：一条简单闭曲线把复平面分成内部、外部和曲线本身三部分，其中内部是有界区域（见点集相关基本概念）

方向

沿曲线前进时，若内部始终在左侧，则该方向称为正向（逆时针）；相反方向为负向（顺时针）。

与 $C$ 路径相同而方向相反的围道记为 $- C$ ，此时 $\int_{- C} f d z = - \int_{C} f d z$
同一条围道可以有无数种参数化，取定方向后积分值与具体参数化无关（见围道积分）

看到记号

\oint_{C}

时，第一件事是确认

C

的方向和它是否包围奇点。教材中"沿正向的简单闭围道"是最常见的设定。

教材 §38