复变函数积分计算

本篇汇总第 4 章各概念笔记中的积分例题，按来源概念笔记分节；方法性结论集中放在末尾的 #方法小结。

复变函数的定积分

计算 $\int_{0}^{π / 2} e^{i t} d t$ 。取原函数 $W (t) = e^{i t} / i$ （因 $W^{'} (t) = e^{i t}$ ）：

\int_{0}^{π / 2} e^{i t} d t = {[\frac{e^{i t}}{i}]}_{0}^{π / 2} = \frac{e^{i π / 2} - 1}{i} = \frac{i - 1}{i} = 1 + i

结果与"沿实轴积分的复值推广"一致，只是被积函数取值在复平面上。

计算 $\oint_{| z | = 1} z^{3} d z$ 与 $\oint_{| z | = 1} \frac{d z}{z}$ 。

用 $z = e^{i θ}$ （ $0 \leq θ \leq 2 π$ ）， $d z = i e^{i θ} d θ$ ：

\oint_{| z | = 1} z^{3} d z = \int_{0}^{2 π} e^{3 i θ} i e^{i θ} d θ = i \int_{0}^{2 π} e^{4 i θ} d θ = 0

\oint_{| z | = 1} \frac{d z}{z} = \int_{0}^{2 π} \frac{i e^{i θ}}{e^{i θ}} d θ = \int_{0}^{2 π} i d θ = 2 π i

计算 $\oint_{| z | = 1} (3 z^{2} + \frac{1}{z}) d z$ 。

由线性性拆开：

3 \oint_{| z | = 1} z^{2} d z + \oint_{| z | = 1} \frac{d z}{z} = 3 \cdot 0 + 2 π i = 2 π i

计算 $\oint_{| z | = 1} \overset{―}{z} d z$ （正向）。

取 $z = e^{i θ}$ ，则 $\overset{―}{z} = e^{- i θ}$ ：

\oint_{| z | = 1} \overset{―}{z} d z = \int_{0}^{2 π} e^{- i θ} i e^{i θ} d θ = 2 π i \neq 0

结果不为零并不奇怪： $\overset{―}{z}$ 处处不解析，不满足柯西-古萨定理的前提。若换成 $f (z) = z$ ，同样的方法得 $\oint_{| z | = 1} z d z = 0$ 。

计算 $\int_{C} \overset{―}{z} d z$ ，其中 $C$ 是上半单位圆周，从 $1$ 沿逆时针到 $- 1$ 。

参数取 $z = e^{i θ}$ ， $θ$ 从 $0$ 到 $π$ ：

\int_{C} \overset{―}{z} d z = \int_{0}^{π} e^{- i θ} i e^{i θ} d θ = \int_{0}^{π} i d θ = π i

与例 3 对照可见：同一被积函数，开弧上的积分是闭围道积分的一半。

估计 $| \oint_{| z | = 2} \frac{d z}{z^{2} - 9} |$ 。在 $| z | = 2$ 上

| z^{2} - 9 | \geq 9 - {| z |}^{2} = 5

长度 $L = 4 π$ ，故积分的模不超过 $\frac{4 π}{5}$ 。而实际上被积函数在 $| z | < 3$ 内解析，由柯西-古萨定理该积分等于 $0$ —— 估计保住了正确性，但没有保住信息量。

{[\frac{z^{3}}{3}]}_{0}^{1 + i} = \frac{(1 + i)^{3}}{3} = \frac{- 2 + 2 i}{3}

换两条具体路径验算同一结论：

直线 $z = (1 + i) t$ ， $0 \leq t \leq 1$ ： $\int_{0}^{1} (1 + i)^{3} t^{2} d t = \frac{(1 + i)^{3}}{3}$
折线 $0 \to 1 \to 1 + i$ ：第一段 $\int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ ；第二段 $z = 1 + i t$ ，

\int_{0}^{1} (1 + i t)^{2} i d t = i \int_{0}^{1} (1 + 2 i t - t^{2}) d t = i (1 + i - \frac{1}{3}) = \frac{2 i}{3} - 1

两段相加得 $- \frac{2}{3} + \frac{2 i}{3}$ ，与上面一致。

$f (z) = e^{z}$ 的原函数是 $e^{z}$ 本身，故 $\int_{C} e^{z} d z = e^{z_{2}} - e^{z_{1}}$ 。

$f (z) = 1 / z$ 在 $D = C ∖ {0}$ 内解析，但 $D$ 是多连通的（有一个洞 $z = 0$ ）。

\oint_{C} \frac{d z}{z} = 2 π i

（用围道积分中幂函数积分的结论）

判断积分是否为 $0$ 的固定流程：先看围道内部有没有奇点；没有 ⇒ $0$ ；有 ⇒ 用变形原理把围道收缩到奇点附近的小圆再算。

圆周上的积分统一取 $z = z_{0} + r e^{i θ}$ （ $0 \leq θ \leq 2 π$ ）， $d z = i r e^{i θ} d θ$ ，代入定义即化为复变函数的定积分，本页各例都从这里入手。
结论可以背下来： $\oint_{| z - z_{0} | = r} (z - z_{0})^{n} d z$ 在 $n = - 1$ 时为 $2 π i$ ， $n \neq - 1$ （整数）时为 $0$ 。
围道内部处处解析时优先用原函数与积分路径无关的微积分基本定理，不必参数化；被积函数不解析时才回到参数化计算。
只需要积分的大小而不是积分值时，用积分模的上界的 ML 估计，先放大 $| f |$ 再乘以围道长度。