极限与连续性

本篇汇集 复变函数的极限 与 复变函数的连续性 两篇概念笔记中的例题：前者演示沿不同路径趋近可得到不同结果，后者演示用商的连续性确定连续范围。

复变函数的极限

讨论 $f(z)={\displaystyle \frac{\bar{z}}{z}}$（$z\ne 0$）当 $z\to 0$ 时的极限是否存在。

沿实轴趋近，取 $z=x\ne 0$：

沿虚轴趋近，取 $z=\mathrm{i}y$（$y\ne 0$）：

两条路径给出不同结果，故 $\underset{z\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\bar{z}}{z}}$ 不存在。尽管 $f$ 在原点附近处处有定义，极限仍然不存在。

复变函数的连续性

讨论 $f(z)={\displaystyle \frac{z^2}{z^2+1}}$ 的连续范围。

分子 $z^2$ 与分母 $z^2+1$ 都是多项式，处处连续。由商的连续性，$f$ 在分母不为零处连续；分母 $z^2+1=0$ 给出 $z=\pm \mathrm{i}$。故 $f$ 在 $\mathbb{C}\setminus \{-\mathrm{i},\mathrm{i}\}$ 上连续，在 $z=\pm \mathrm{i}$ 处无定义因而不连续。

相关笔记

• 复变函数的极限：极限的定义与路径无关性
• 复变函数的连续性：连续的定义与四则运算

教材 §14–§17