柯西积分公式应用

本篇演示 柯西积分公式 与 解析函数的导数公式 的标准用法。共同套路：确认围道方向与奇点位置 → 把被积函数写成 ${\displaystyle \frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}}$ → 套公式。

柯西积分公式

例 1：奇点在围道内部

计算 ${\displaystyle {\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\mathrm{d}z}$（正向）。

$f(z)=e^z$ 是整函数，$z_0=1$ 在 $|z|=2$ 内部：

例 2：奇点在围道外部

计算 ${\displaystyle {\oint }_{|z|=1}\frac{\cos z}{z-3}\mathrm{d}z}$（正向）。

奇点 $z=3$ 在圆外，被积函数在 $|z|\le 1$ 上及其内部解析，由 柯西-古萨定理 直接得

这就是"用公式前先看奇点位置"的意义。

例 3：分母是二次式

计算 ${\displaystyle {\oint }_{|z-2\mathrm{i}|=1}\frac{z}{z^2+4}\mathrm{d}z}$（正向）。

$z^2+4=(z-2\mathrm{i})(z+2\mathrm{i})$。在圆 $|z-2\mathrm{i}|=1$ 内部只有奇点 $z_0=2\mathrm{i}$（另一个奇点 $-2\mathrm{i}$ 到圆心距离为 $4$，在圆外）。取

例 4：围道内有多个奇点

计算 ${\displaystyle {\oint }_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z^2(z-1)}}$（正向）。

圆内有两个奇点：$z=0$（二阶）与 $z=1$。把被积函数拆开：

逐项积分：${\displaystyle {\oint }_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z}=2\pi \mathrm{i}}$，${\displaystyle {\oint }_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z^2}=0}$，${\displaystyle {\oint }_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{z-1}=2\pi \mathrm{i}}$，于是

（${\displaystyle \frac{1}{z^2}}$ 的积分为零，也可用 解析函数的导数公式 理解：它对应 $n=1$、$f(z)=1$ 的情形，$f^{\prime }(0)=0$。）

例 5：分子为常数，分母是二次式

设 $C$ 是正向圆周 $|z-\mathrm{i}|=1$，计算

被积函数化为 ${\displaystyle \frac{1}{(z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i})}}$。取 $f(z)={\displaystyle \frac{1}{z+\mathrm{i}}}$，它在 $|z-\mathrm{i}|\le 1$ 上及其内部解析（奇点 $-\mathrm{i}$ 到圆心的距离为 $2$，在圆外），而 $z_0=\mathrm{i}$ 在 $C$ 内部，故

留下的奇点 $z=-\mathrm{i}$ 在 $C$ 外部，不需要处理。

例 6：三次分母，奇点在圆内

设 $C$ 为正向圆周 $|z|=2$，计算 ${\displaystyle {\oint }_C\frac{z\mathrm{d}z}{(9-z^2)(z+\mathrm{i})}}$。

取 $f(z)={\displaystyle \frac{z}{9-z^2}}$，它在 $|z|\le 2$ 上及其内部解析（奇点 $\pm 3$ 在圆外），$z_0=-\mathrm{i}$ 在圆内，故

解析函数的导数公式

例 7：高阶导数公式

计算 ${\displaystyle {\oint }_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^4}\mathrm{d}z}$（正向）。

这里 $f(z)=\sin z$，$z_0=0$，$n=3$，而 ${\sin }^{(3)}z=-\cos z$，故 ${\sin }^{(3)}(0)=-1$：

相关笔记

• 柯西积分公式：定理、平均值性质与标准用法
• 解析函数的导数公式：高阶导数公式与反用公式计算积分
• 柯西-古萨定理：围道内无奇点时积分直接为零
• 围道积分：围道积分的定义与基本性质

教材 §47–§48