解析性与C-R方程

本篇汇集极坐标形式的C-R方程与解析函数的导数公式两篇概念笔记中的例题：前者演示在极坐标下验证 C-R 方程并读出导数，后者演示反用高阶导数公式计算围道积分。

极坐标形式的C-R方程

取 $z = r e^{i θ}$ ， $u = \ln r$ 、 $v = θ$ ，即在割去负实轴的区域 $D$ 内取 $f (z) = \ln z = \ln | z | + i \arg z$ 。计算得

u_{r} = \frac{1}{r}, u_{θ} = 0, v_{r} = 0, v_{θ} = 1

代入方程： $\frac{1}{r} = \frac{1}{r} \cdot 1$ ， $0 = - \frac{1}{r} \cdot 0$ ，两条都成立，所以 $f$ 在 $D$ 内解析，并且

f^{'} (z) = e^{- i θ} (\frac{1}{r} + i \cdot 0) = \frac{1}{r e^{i θ}} = \frac{1}{z}

这正是对数函数中" $\ln z$ 的导数为 $\frac{1}{z}$ "的独立验证。注意 $u = \ln r$ 只依赖 $r$ ，所以 $\ln | z |$ 在去心平面 $C ∖ {0}$ 上处处是调和函数：用极坐标下的 Laplacian

u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r^{2}} u_{θ θ} = - \frac{1}{r^{2}} + \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r} + 0 = 0

而单值的 $\arg z$ 只能在割去射线的区域上取得，这正是 $\ln z$ 的解析区域必须挖掉一条射线的理由。这也说明 $u = \ln | z |$ 的调和性不需要任何割线，而它的共轭调和函数 $\arg z$ 却需要，多值性带来的差别正体现在这里。

解析函数的导数公式

计算 $\oint_{| z | = 1} \frac{e^{z}}{z^{3}} d z$ 。这里 $f (z) = e^{z}$ （整函数）， $z_{0} = 0$ ， $n = 2$ ， $f^{″} (0) = e^{0} = 1$ ：

\oint_{| z | = 1} \frac{e^{z}}{z^{3}} d z = \frac{2 π i}{2!} \cdot 1 = π i

再如 $\oint_{| z | = 2} \frac{\cos z}{z^{4}} d z = \frac{2 π i}{3!} {\frac{d^{3}}{d z^{3}} \cos z |}_{z = 0} = \frac{2 π i}{6} \cdot 0 = 0$ （因为 $\cos$ 的三阶导数是 $- \sin$ ，在 $0$ 处为 $0$ ）。

极坐标形式的C-R方程

解析函数的导数公式

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