复变函数MOC

复变函数 MOC

教材：《复变函数及其应用》（Brown & Churchill 原书第 7 版，邓冠铁等译），扫描版原文见 pdf/复变函数及其应用.pdf。

本库按教材章节组织，每篇概念笔记末尾标注对应节号。目前整理到第 4 章积分。

第 1 章复数

复数的代数运算 —— 复数定义、四则运算与代数性质（§1–§3）
模与共轭复数 —— 模、共轭、三角不等式（§4–§5）
复数的指数形式 —— 极坐标、欧拉公式、乘除的几何意义（§6–§7）
乘幂和方根 —— 复数的乘幂与 $n$ 次方根（§8）
点集相关基本概念 —— 邻域、区域、有界性、简单闭曲线（§10）

第 2 章解析函数

函数映射 —— 复变函数作为平面到平面的映射， $w = e^{z}$ 的映射性质（§12–§13）
复变函数的极限 —— 极限定义、极限定理、无穷远点（§14–§16）
复变函数的连续性 —— 连续性与实部虚部连续的关系（§17）
导数 —— 导数定义与求导法则（§18）
微分 —— 可微的充要条件（§19）
C-R方程 —— 柯西-黎曼方程及其充分性、几何意义（§20–§21）
极坐标形式的C-R方程 —— 极坐标下的 C-R 方程与导数公式（§22）
解析 —— 解析函数定义与判据（§23）
调和函数 —— 调和性、共轭调和函数的求法（§25）
唯一确定的解析函数与反射原理 —— 解析函数的唯一性与解析延拓（§26–§27）

第 3 章初等函数

指数函数 —— $e^{z}$ 的定义、性质与映射性质（§28）
支点与割线 —— 多值函数的支点、割线与单值分支（§29–§32、§35）
对数函数 —— $Ln z$ 的多值性、主值分支与导数（§29–§31）
幂函数 —— 复幂 $z^{c}$ 的取值与分支（§32）
三角函数 —— $\sin z$ 、 $\cos z$ 的定义与无界性（§33）
双曲函数 —— 双曲函数的定义与周期性（§34）
反三角函数与反双曲函数 —— 用对数表示、多值性与分支（§35）

第 4 章积分

复变函数的定积分 —— 复值函数的定积分与模的估计（§36–§37）
围道 —— 光滑弧、简单闭曲线、方向与长度（§38）
围道积分 —— 围道积分的定义、性质与幂函数积分（§39–§40）
积分模的上界 —— ML 估计及其两种用法（§41）
原函数与积分路径无关 —— 原函数存在性与积分路径无关的三个等价条件（§42–§43）
柯西-古萨定理 —— 解析函数沿闭围道积分为零，含 Green 公式证明与古萨证明（§44–§45）
单连通与多连通区域 —— 连通度、挖洞公式与围道变形原理（§46）
柯西积分公式 —— 内部取值由边界值决定（§47）
解析函数的导数公式 —— 高阶导数公式与柯西不等式（§48）
刘维尔定理与代数基本定理 —— 有界整函数为常数，多项式必有零点（§49）
最大模原理 —— 非常数解析函数的模取不到最大值（§50）

例题

概念笔记里的例题全部集中在此，正文只留一行指向这里；每篇按来源概念笔记分节。

复数运算与几何表示 —— 四则运算、模与共轭、指数形式、乘幂与方根（§1–§8）
极限与连续性 —— 沿不同路径趋近的不同极限、连续范围的判定（§14–§17）
解析性与C-R方程 —— 极坐标 C-R 方程验证与高阶导数公式反用（§22、§48）
初等函数多值与分支 —— $Ln (- 1)$ 、 $(- 1)^{i}$ 、 $i^{i}$ 、 $\arccos 2$ 、 $\arcsin i$ （§29–§35）
复变函数积分计算 —— 定积分、围道积分、ML 估计、路径无关与挖洞公式（§36–§46）
柯西积分公式应用 —— 单奇点、多奇点、高阶导数的典型算法（§47–§48）

学习主线

复数与复平面（第 1 章）→ 复变函数与解析性（第 2 章）
初等函数（第 3 章）是解析函数的"样例库"
积分（第 4 章）是分水岭：柯西-古萨定理把"解析"翻译成"积分为零"，由此派生柯西积分公式 → 解析函数的导数公式 → 最大模原理与刘维尔定理与代数基本定理
常见计算链：判断奇点位置 → 用围道变形把路径缩到奇点附近 → 套柯西积分公式/高阶导数公式