三角函数

定义

借助指数函数 $e^{z}$ ，把实三角函数的定义直接搬到复平面上：

\sin z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i}, \cos z = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}

\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}, \sec z = \frac{1}{\cos z}, \csc z = \frac{1}{\sin z}

当 $z = x$ 为实数时，由 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ 可解出 $\cos x$ 与 $\sin x$ ，说明上述定义与实三角函数一致，因此复三角函数是实三角函数的推广。

$e^{i z}$ 与 $e^{- i z}$ 都是整函数，故 $\sin z$ 、 $\cos z$ 也是整函数，并且导数公式与实函数相同：

(\sin z)^{'} = \cos z, (\cos z)^{'} = - \sin z

例如

(\sin z)^{'} = \frac{i e^{i z} + i e^{- i z}}{2 i} = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} = \cos z

由商的求导法则，

(\tan z)^{'} = \sec^{2} z = \frac{1}{\cos^{2} z} (z \neq \frac{π}{2} + k π)

即除 $z = \frac{π}{2} + k π$ 外 $\tan z$ 处处解析，而这些点正是 $\cos z$ 的零点， $\tan z$ 在它们附近无界（奇点的分类要到后面讲留数时才正式定义，届时会称它们为一阶极点）。

周期： $\sin (z + 2 π) = \sin z$ ， $\cos (z + 2 π) = \cos z$ ，即以 $2 π$ 为周期； $\tan z$ 、 $\cot z$ 以 $π$ 为周期。
奇偶性： $\sin (- z) = - \sin z$ 为奇函数， $\cos (- z) = \cos z$ 为偶函数。
平方关系： $\sin^{2} z + \cos^{2} z = 1$ 。
和角公式与实函数形式相同：

\sin (z_{1} + z_{2}) = \sin z_{1} \cos z_{2} + \cos z_{1} \sin z_{2}

\cos (z_{1} + z_{2}) = \cos z_{1} \cos z_{2} - \sin z_{1} \sin z_{2}

倍角公式、和差化积等公式也全部成立，因为这些公式只依赖指数函数的加法定理 $e^{z_{1} + z_{2}} = e^{z_{1}} e^{z_{2}}$ 。

与实函数的唯一差别不在公式，而在取值范围

所有代数恒等式都能照搬，但“有界性”不能照搬。

无界性。设 $z = x + i y$ ，由和角公式与 $\sin (i y) = i \sinh y$ 、 $\cos (i y) = \cosh y$ （见双曲函数）得

\sin (x + i y) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y

于是

{| \sin (x + i y) |}^{2} = \sin^{2} x \cosh^{2} y + \cos^{2} x \sinh^{2} y = \sin^{2} x + \sinh^{2} y

由于 $\sinh^{2} y$ 随 $| y |$ 无限增大， $| \sin z |$ 在复平面上无上界：例如 $| \sin (i y) | = \sinh y \to + \infty$ 。同理

{| \cos (x + i y) |}^{2} = \cos^{2} x + \sinh^{2} y

所以 $\sin z$ 、 $\cos z$ 都不是有界函数。

零点。解 $\sin z = 0$ 等价于 $e^{i z} = e^{- i z}$ ，即 $e^{2 i z} = 1$ ，故 $2 i z = 2 k π i$ ，得

\sin z = 0 ⟺ z = k π, k \in Z

同理

\cos z = 0 ⟺ z = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

零点全部是实轴上的孤立点，这一点与实函数相同；但复平面上不存在其它零点。

常见误解

不等式 $| \sin z | \leq 1$ 在复数域不成立，只有限制 $z$ 为实数时才是对的。