函数映射

复变函数是平面到平面的映射

设 $z = x + i y$ 取遍定义域 $D$ ， $w = f (z)$ 写成 $w = u + i v$ 。把 $D$ 画在 $z$ 平面、把函数值画在 $w$ 平面， $f$ 就实现了一次“平面到平面”的搬运：点 $z$ 被搬到点 $w$ ，集合 $D$ 被搬到像集

f (D) = {w : w = f (z), z \in D}

研究一个复变函数，除了求值，还要看它把哪些点集搬成了哪些点集。

映射的观点

求像曲线的标准做法：设 $z (t) = x (t) + i y (t)$ 是曲线参数方程，代入 $f$ 得到

w (t) = u (x (t), y (t)) + i v (x (t), y (t))

再从 $w (t)$ 的表达式识别形状（直线、圆、射线、圆锥曲线等）；也可以直接对 $u, v$ 消去参数，得到像曲线的直角坐标方程。

实用技巧

若 $f$ 能写成 $w$ 的模与辐角的显式表达式（如指数函数），用 $| w |$ 、 $\arg w$ 看曲线形状通常比消参更快。

单值函数：每个 $z \in D$ 对应唯一一个 $w$ ，如 $w = z^{2}$ 、 $w = e^{z}$ 。
多值函数：同一个 $z$ 对应多个 $w$ ，如 $Ln z$ 、 $\sqrt{z}$ 、 $\arcsin z$ ；处理办法是限制在一个分支上，把它看成单值函数（见对数函数）。
单值函数中还关心“一一”：若 $f (z_{1}) = f (z_{2})$ 只能推出 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $f$ 在 $D$ 上是一一映射，此时存在反函数。

求一个区域或曲线在映射下的像，按下面顺序推进：

对 $w = e^{z}$ ，有

u = e^{x} \cos y, v = e^{x} \sin y, | w | = e^{x}, Arg w = y + 2 k π

因此模只由 $x$ 决定、辐角只由 $y$ 决定：

水平直线 $y = b$ （ $b$ 固定）映成从原点出发、方向角为 $b$ 的射线，即 $Arg w = b$ （所有辐角为 $b + 2 k π$ 的点），且 $w \neq 0$ ；
竖直线 $x = a$ 映成圆 $| w | = e^{a}$ ，整条竖线映成该圆的无穷多圈；
水平带形 $a < Im z < b$ ：若带宽 $b - a < 2 π$ ，则映成角形域 ${w \neq 0 : Arg w \in (a, b)}$ ，张角为 $b - a$ 。注意这里的辐角是模 $2 π$ 的意义——当区间 $(a, b)$ 跨过 $π$ 时角形域会跨过负实轴（如 $3 < Im z < 5$ ），此时不能改用主值 $\arg w$ 写这个不等式，否则角形域会被"切断"；若带宽 $b - a = 2 π$ ，角形域张满整个 $w$ 平面而只剩边界射线，带形内部仍被一一映满去掉该射线的平面；
例如带形 $- π < Im z < π$ 被 $e^{z}$ 一一映成 $w$ 平面去掉负实轴的区域。

因为 $e^{z}$ 以 $2 π i$ 为周期，宽 $2 π$ 的各条带形都盖住 $w$ 平面的同一部分，所以 $e^{z}$ 在整个平面上不是一一映射，只能逐带讨论。

用途

求像区域是积分换元、构造保角映射解边值问题的基础；后面学解析函数的保角性时会反复用到这里的方法。