刘维尔定理与代数基本定理

刘维尔定理

若 $f$ 是有界整函数，即 $f$ 在整个复平面上解析且存在常数 $M$ 使

| f (z) | \leq M (对一切 z \in C)

则 $f$ 必为常数。

$f$ 是整函数，故在任意 $z_{0}$ 的一个任意大的圆盘 $| z - z_{0} | \leq R$ 上解析。由解析函数的导数公式中的柯西不等式

| f^{'} (z_{0}) | \leq \frac{M_{R}}{R} \leq \frac{M}{R}

令 $R \to \infty$ ，得 $f^{'} (z_{0}) = 0$ 。因 $z_{0}$ 是任意的，故 $f^{'} \equiv 0$ ；而区域上导数恒为零的解析函数为常数。

这一定理说明"解析 + 有界"是非常强的条件：在复平面上，整函数只要有界就退化。对照实函数，

\sin x

有界但显然不是常数 —— 这是复分析与实分析的重要差别（关键在于复平面是"没有边界、没有两端"的）。

设

P (z) = a_{0} + a_{1} z + \dots + a_{n} z^{n}, a_{n} \neq 0, n \geq 1

是 $n$ 次复系数多项式，则 $P (z)$ 在复平面内至少有一个零点；进一步， $P$ 在复数域内恰有 $n$ 个零点（计重数），并可分解为

P (z) = a_{n} (z - z_{1}) (z - z_{2}) \dots (z - z_{n})

若 $P (z)$ 在复平面上处处不为零，则

f (z) = \frac{1}{P (z)}

是整函数。又当 $| z | \to \infty$ 时 $| P (z) | \to \infty$ ，故 $| f (z) | \to 0$ ，于是 $f$ 有界。由刘维尔定理 $f$ 为常数，从而 $P$ 为常数，与 $n \geq 1$ 、 $a_{n} \neq 0$ 矛盾。

这说明复数域是代数闭域。实系数多项式在实数范围内可能没有根（如

z^{2} + 1 = 0

），但在复数范围内总能分解到底 —— 例如

z^{2} + 1 = (z - i) (z + i)

。

教材 §49