原函数与积分路径无关

原函数

若在区域 $D$ 内处处有

F^{'} (z) = f (z)

则称 $F$ 是 $f$ 在 $D$ 内的一个原函数。

设 $f$ 在区域 $D$ 内连续，则下面三条互相等价：

证明思路： $2 \Rightarrow 3$ 用两条路径拼成闭围道； $3 \Rightarrow 1$ 固定 $z_{0} \in D$ ，令

F (z) = \int_{z_{0}}^{z} f (s) d s

（沿 $D$ 内折线积分，路径无关保证 $F$ 定义合理），再验证 $F^{'} = f$ ； $1 \Rightarrow 2$ 由微积分基本定理直接得到。

若 $F$ 是 $f$ 的原函数， $C$ 是 $D$ 内从 $z_{1}$ 到 $z_{2}$ 的围道，则

\int_{C} f (z) d z = F (z_{2}) - F (z_{1})

（右端与路径无关，与复变函数的定积分中的牛顿–莱布尼茨公式形式一致。）

解析不等于一定有原函数。

f (z) = 1 / z

在

D = C ∖ {0}

内解析，但

\oint_{| z | = 1} \frac{d z}{z} = 2 π i \neq 0

，所以它在

D

内没有原函数。原因是

D

不是单连通的（见单连通与多连通区域）：区域"有洞"时，解析函数可能失去原函数。

教材 §42–§43