双曲函数

定义

用指数函数定义复双曲函数：

\sinh z = \frac{e^{z} - e^{- z}}{2}, \cosh z = \frac{e^{z} + e^{- z}}{2}

\tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z}, \coth z = \frac{\cosh z}{\sinh z}, sech z = \frac{1}{\cosh z}, csch z = \frac{1}{\sinh z}

当 $z = x$ 为实数时即为实双曲函数，故这是实双曲函数在复数域上的推广。

$e^{z}$ 与 $e^{- z}$ 都是整函数，因此 $\sinh z$ 、 $\cosh z$ 是整函数，且

(\sinh z)^{'} = \frac{e^{z} + e^{- z}}{2} = \cosh z, (\cosh z)^{'} = \frac{e^{z} - e^{- z}}{2} = \sinh z

由商的求导法则，

(\tanh z)^{'} = \frac{\cosh^{2} z - \sinh^{2} z}{\cosh^{2} z} = \frac{1}{\cosh^{2} z} = {sech}^{2} z

除 $\cosh z$ 的零点外 $\tanh z$ 处处解析，而在这些零点处它无界（后面讲留数时会称这些点为一阶极点）。

因为 $e^{z}$ 以 $2 π i$ 为周期，而 $e^{- z}$ 也以 $2 π i$ 为周期，所以

\sinh (z + 2 π i) = \sinh z, \cosh (z + 2 π i) = \cosh z

即 $\sinh z$ 、 $\cosh z$ 以 $2 π i$ 为周期（周期是纯虚数，这是与实函数最明显的差别）； $\tanh z$ 以 $π i$ 为周期。

在三角函数的定义中用 $i z$ 替换 $z$ ，即可互相转换：

\sin (i z) = \frac{e^{- z} - e^{z}}{2 i} = i \sinh z ⟺ \sinh z = - i \sin (i z)

\cos (i z) = \frac{e^{- z} + e^{z}}{2} = \cosh z ⟺ \cosh z = \cos (i z)

因此在复平面上，双曲函数族与三角函数族是同一族函数经自变量虚数伸缩后的结果，实域中的“两套公式”在这里合并成一套。

由此还可以得到平方关系

\cosh^{2} z - \sinh^{2} z = 1

它与三角函数中的 $\sin^{2} z + \cos^{2} z = 1$ 相对应，只是符号不同。

解 $\sinh z = 0$ 即 $e^{z} = e^{- z}$ ，等价于 $e^{2 z} = 1$ ，故 $2 z = 2 k π i$ ，于是

\sinh z = 0 ⟺ z = k π i, k \in Z

解 $\cosh z = 0$ 即 $e^{z} = - e^{- z}$ ，等价于 $e^{2 z} = - 1$ ，故 $2 z = (2 k + 1) π i$ ，于是

\cosh z = 0 ⟺ z = (\frac{π}{2} + k π) i, k \in Z

零点全部落在虚轴上，并且是孤立的；这也说明 $\tanh z$ 的奇点全在虚轴上。

与三角函数的对应

$\sinh z$ 的零点是 $\sin z$ 的零点乘以 $i$ ， $\cosh z$ 的零点是 $\cos z$ 的零点乘以 $i$ ，这正是 $\sinh z = - i \sin (i z)$ 的推论。