围道积分

定义

设围道 $C$ 由 $z(t)$（$a\le t\le b$）给出，$f$ 在 $C$ 上分段连续，定义 $f$ 沿 $C$ 的积分为

若 $C$ 是闭围道，也记作 ${\displaystyle {\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z}$。

这个定义把复积分化成了 复变函数的定积分，因此它的存在性、线性性都直接继承过来。

化为 实 线积分

由 $f=u+\mathrm{i}v$ 与 $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y$ 展开：

这个形式是 柯西-古萨定理 中用 Green 公式证明的入口。

性质

• 线性：${\displaystyle {\int }_C(\alpha f+\beta g)\mathrm{d}z=\alpha {\int }_{C}f\mathrm{d}z+\beta {\int }_{C}g\mathrm{d}z}$
• 反向变号：${\displaystyle {\int }_{-C}f\mathrm{d}z=-{\int }_{C}f\mathrm{d}z}$
• 路径可加：若 $C$ 由 $C_1$ 的终点接 $C_2$ 的起点拼成，则 ${\displaystyle {\int }_C={\int }_{C_1}+{\int }_{C_2}}$
• 与参数化无关：同一方向下的不同参数化给出相同积分值
• $f$ 在 $C$ 上连续时，积分的模有界（见 积分模的上界）

幂函数沿圆周的积分（核心例子）

设 $C$ 是以 $z_0$ 为心、$r$ 为半径的正向圆周，取 $z=z_0+r{e}^{\mathrm{i}\theta }$，$0\le \theta \le 2\pi$。对整数 $n$：

即对所有整数 $n$，只有 $n=-1$ 时积分不为零：$n\ge 0$ 与 $n\le -2$ 都给出 $0$（后者的被积函数在 $C$ 上其实有界，但绕一圈后各段互相抵消，见下面的直接计算）。
$n=-1$ 的计算：

$n\ne -1$ 时 ${\displaystyle {\oint }_C(z-z_0{)}^n\mathrm{d}z=\mathrm{i}{r}^{n+1}{\int }_0^{2\pi }{e}^{\mathrm{i}(n+1)\theta }\mathrm{d}\theta =0}$（$n+1\ne 0$）。

例题

见 复变函数积分计算#围道积分。

教材 §39–§40