复变函数的定积分

复变函数的积分可以从实变函数的积分直接搬过来：把复值函数拆成实部和虚部，逐分量积分即可。

复值函数的导数

设 $w (t) = u (t) + i v (t)$ ，其中 $t$ 是实变量， $a \leq t \leq b$ ， $u, v$ 为实值函数，则

w^{'} (t) = u^{'} (t) + i v^{'} (t)

求导法则与实函数完全一致：

(w_{1} \pm w_{2})^{'} = w_{1}^{'} \pm w_{2}^{'}, (w_{1} w_{2})^{'} = w_{1}^{'} w_{2} + w_{1} w_{2}^{'}

以及链式法则 $\frac{d}{d t} w [g (t)] = w^{'} [g (t)] g^{'} (t)$ 。

定积分

定义为实部、虚部分别取定积分：

\int_{a}^{b} w (t) d t = \int_{a}^{b} u (t) d t + i \int_{a}^{b} v (t) d t

即 $\int_{a}^{b} w d t = \int_{a}^{b} u d t + i \int_{a}^{b} v d t$ 当且仅当右边的两个实积分都存在。

基本性质

线性： $\int_{a}^{b} [α w_{1} (t) + β w_{2} (t)] d t = α \int_{a}^{b} w_{1} d t + β \int_{a}^{b} w_{2} d t$ ，其中 $α, β$ 为复常数
区间可加： $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$
反向变号： $\int_{b}^{a} = - \int_{a}^{b}$
微积分基本定理：若 $W^{'} (t) = w (t)$ ，则

\int_{a}^{b} w (t) d t = W (b) - W (a)

模的估计

最重要的一条不等式：

| \int_{a}^{b} w (t) d t | \leq \int_{a}^{b} | w (t) | d t

它的广义积分版本同样成立：

| \int_{a}^{\infty} w (t) d t | \leq \int_{a}^{\infty} | w (t) | d t

（前提是右边的广义积分存在。）

微分中值定理不再成立

实函数有 $w (b) - w (a) = w^{'} (c) (b - a)$ ，但对复值函数这条失效。反例： $w (t) = e^{i t}$ 在 $[0, 2 π]$ 上， $w^{'} (t) = i e^{i t}$ 恒不为零，而 $w (2 π) - w (0) = 0$ ，找不到满足等式的 $c$ 。

这是复变函数里"估计积分"的出发点：先把积分换成对模的实积分，再在实轴上找上界。围道积分中的积分模的上界就是它的围道版本。

例题

见复变函数积分计算#复变函数的定积分。

教材 §36–§37