复变函数的极限

定义

设函数 $f$ 在 $z_{0}$ 的某个去心邻域 $0 < | z - z_{0} | < δ_{0}$ 内有定义。若存在复数 $w_{0}$ ，使对任意 $ε > 0$ 都存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | z - z_{0} | < δ$ 时恒有

| f (z) - w_{0} | < ε

则称当 $z$ 趋于 $z_{0}$ 时 $f (z)$ 的极限为 $w_{0}$ ，记作

lim_{z \to z_{0}} f (z) = w_{0}

0 < | z - z_{0} |

中的严格不等式

条件排除了 $z = z_{0}$ 本身，所以极限与 $f (z_{0})$ 无关： $f$ 可以在 $z_{0}$ 处没有定义，也可以取任意值。这也说明极限只由 $f$ 在 $z_{0}$ 附近的值决定。

基本性质

唯一性。极限若存在则必唯一：若同时有 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = w_{0}$ 与 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = w_{0}^{'}$ ，取 $ε = | w_{0} - w_{0}^{'} | / 2$ ，则当 $z$ 充分接近 $z_{0}$ 时 $| w_{0} - w_{0}^{'} | \leq | w_{0} - f (z) | + | f (z) - w_{0}^{'} | < | w_{0} - w_{0}^{'} |$ ，矛盾。

与实部、虚部极限的等价刻画。写 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ ， $w_{0} = u_{0} + i v_{0}$ ，则

lim_{z \to z_{0}} f (z) = w_{0} ⟺ lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} u (x, y) = u_{0}, lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} v (x, y) = v_{0}

理由是 $| u - u_{0} | \leq | f (z) - w_{0} | \leq | u - u_{0} | + | v - v_{0} |$ ，同理对 $v$ 也成立。于是复变函数的极限可化为两个二元实函数的极限。

极限运算法则

设 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = w_{0}$ ， $lim_{z \to z_{0}} g (z) = W_{0}$ ，则

lim_{z \to z_{0}} [f (z) \pm g (z)] = w_{0} \pm W_{0}, lim_{z \to z_{0}} f (z) g (z) = w_{0} W_{0}

lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z)}{g (z)} = \frac{w_{0}}{W_{0}}, W_{0} \neq 0

商的结论要求分母极限非零；此时 $g$ 在 $z_{0}$ 的某个去心邻域内也不为零，商的表达式有意义。常数函数与 $z$ 的极限显然，故多项式、有理函数在分母非零处的极限可直接代入计算。

无穷远点的极限

两种情形都借助变换 $z \mapsto 1 / z$ 化归为原点附近的极限：

$lim_{z \to \infty} f (z) = w_{0}$ ：对任意 $ε > 0$ ，存在 $R > 0$ ，当 $| z | > R$ 时 $| f (z) - w_{0} | < ε$ 。令 $ζ = 1 / z$ ，则它等价于 $lim_{ζ \to 0} f (1 / ζ) = w_{0}$ 。
$lim_{z \to z_{0}} f (z) = \infty$ ：对任意 $M > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $0 < | z - z_{0} | < δ$ 时 $| f (z) | > M$ 。它等价于 $lim_{z \to z_{0}} \frac{1}{f (z)} = 0$ 。

计算无穷远点极限

先把 $z = 1 / ζ$ 代入，再用普通极限的法则，例如

lim_{z \to \infty} \frac{2 z^{2} + 1}{z^{2} + z} = lim_{ζ \to 0} \frac{2 + ζ^{2}}{1 + ζ} = 2

极限与趋近路径

极限存在要求与路径无关

复平面上 $z$ 趋于 $z_{0}$ 可以从任意方向、沿任意曲线趋近。 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = w_{0}$ 要求所有趋近方式都得到同一个 $w_{0}$ ；只沿某一条路径算出极限，不能证明极限存在。这是复变函数极限与一元实函数极限的关键区别。

实用判据：若能找到两条路径使 $f (z)$ 分别趋于不同的值，则极限不存在。注意“与路径无关”是对有极限的函数自动成立的性质，而不是可以省略的检查步骤；后面的可导性（导数）正是要求差商沿所有路径都趋于同一个极限。

例题

见极限与连续性#复变函数的极限。

定义

基本性质

极限运算法则

无穷远点的极限

极限与趋近路径

例题

相关笔记