复变函数的连续性

定义

设函数 $f$ 在 $z_{0}$ 及其某个邻域内有定义。若

lim_{z \to z_{0}} f (z) = f (z_{0})

则称 $f$ 在 $z_{0}$ 处连续。用 $ε$ - $δ$ 语言写出：对任意 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，当 $| z - z_{0} | < δ$ 时

| f (z) - f (z_{0}) | < ε

这里不再要求 $0 < | z - z_{0} |$ ，因为 $z = z_{0}$ 时该不等式自动成立。若极限存在但不等于 $f (z_{0})$ ，或极限不存在，则称 $z_{0}$ 是 $f$ 的间断点。

与复变函数的极限的区别只有一点：连续要求 $f$ 在 $z_{0}$ 处有定义，并且极限值恰好等于该处的函数值。

写 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 。由极限与实部虚部极限的等价刻画（见复变函数的极限）得到：

$f$ 在 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 处连续，当且仅当 $u (x, y)$ 与 $v (x, y)$ 都在 $(x_{0}, y_{0})$ 处连续，即

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} u (x, y) = u (x_{0}, y_{0}), lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} v (x, y) = v (x_{0}, y_{0})

因此判断复变函数的连续性，可以逐分量判断两个二元实函数的连续性。

若 $f$ 、 $g$ 在 $z_{0}$ 处连续，则 $f \pm g$ 、 $f g$ 在 $z_{0}$ 处连续。
若 $f$ 、 $g$ 在 $z_{0}$ 处连续且 $g (z_{0}) \neq 0$ ，则 $f / g$ 在 $z_{0}$ 处连续（由商的极限定理，此时 $z_{0}$ 附近也有 $g (z) \neq 0$ ）。
若 $g$ 在 $z_{0}$ 处连续、 $f$ 在 $w_{0} = g (z_{0})$ 处连续，则复合函数 $f (g (z))$ 在 $z_{0}$ 处连续。
常数函数与 $f (z) = z$ 处处连续，反复用前两条即得：多项式处处连续；有理函数（两个多项式之商）在分母不为零的每一点连续。

若 $f$ 在区域 $D$ 的每一点都连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续；区域的定义见点集相关基本概念。此时上述四则运算与复合的结论在整个区域上成立。特别地，多项式在整个复平面上连续，有理函数在分母不为零的区域内连续。不过连续只是最弱的正则性要求，它远不足以保证可导：

连续与可导

可导（导数）要求差商 $\frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}}$ 的极限存在，比连续强得多。可导必连续，连续不一定可导，例如 $f (z) = \overset{―}{z}$ 处处连续却处处不可导。

设 $f$ 在 $z_{0}$ 处连续。在连续的 $ε$ - $δ$ 定义中取 $ε = 1$ ，得 $δ > 0$ ，使 $| z - z_{0} | < δ$ 时

| f (z) | = | f (z) - f (z_{0}) + f (z_{0}) | \leq | f (z) - f (z_{0}) | + | f (z_{0}) | < 1 + | f (z_{0}) |

即 $f$ 在 $z_{0}$ 的某个邻域内有界。这只是一个局部结论：

局部有界不等于整体有界

$f (z) = 1 / z$ 在每个 $z_{0} \neq 0$ 处连续，因而在 $z_{0}$ 的某个邻域内有界，但它在区域 $0 < | z | < 1$ 上无界。区域上的整体有界性需要额外的条件，不能由逐点连续推出。