复数的代数运算

定义

复数 $z$ 由一对有序实数 $x$ 、 $y$ 与虚数单位 $i$ 组成：

z = x + i y, i^{2} = - 1

其中 $x$ 是 $z$ 的实部 $Re z$ ， $y$ 是 $z$ 的虚部 $Im z$ ，两者都是实数。 $x = 0$ 且 $y \neq 0$ 时 $z$ 称为纯虚数； $y = 0$ 时 $z = x$ 就是实数，所以实数集是复数集的子集。

把 $z = x + i y$ 与平面上的点 $(x, y)$ （或向量 $\vec{O z}$ ）对应起来，就得到复平面。实轴上的点表示实数，虚轴上除原点外的点表示纯虚数。

两个复数相等，当且仅当实部与虚部分别相等：

x_{1} + i y_{1} = x_{2} + i y_{2} ⟺ x_{1} = x_{2}, y_{1} = y_{2}

因此一个复数等式等价于两个实数等式。

(x_{1} + i y_{1}) + (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} + x_{2}) + i (y_{1} + y_{2})

(x_{1} + i y_{1}) (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})

乘法就是把两个括号按分配律完全展开，再用 $i^{2} = - 1$ 把含 $i^{2}$ 的项化成实数并入实部。

几何上加法就是向量加法：以 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为邻边的平行四边形的对角线对应 $z_{1} + z_{2}$ 。乘法的几何意义不便于用直角坐标描述，它相当于一次旋转加一次伸缩，详见复数的指数形式。

对任意 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 成立：

交换律： $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ ， $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$
结合律： $(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})$ ， $(z_{1} z_{2}) z_{3} = z_{1} (z_{2} z_{3})$
分配律： $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$
单位元： $z + 0 = z$ ， $z \cdot 1 = z$
逆元： $z + (- z) = 0$ ， $z \cdot \frac{1}{z} = 1$ （ $z \neq 0$ ）

每条规律都可以按定义把实部、虚部分开验证。

减法就是加上相反数：

z_{1} - z_{2} = z_{1} + (- z_{2}) = (x_{1} - x_{2}) + i (y_{1} - y_{2})

除法不能实部除实部、虚部除虚部。标准做法是分子分母同乘分母的共轭复数 $\overset{―}{z_{2}}$ （见模与共轭复数），把分母化成实数：

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} \overset{―}{z_{2}}}{z_{2} \overset{―}{z_{2}}} = \frac{z_{1} \overset{―}{z_{2}}}{{| z_{2} |}^{2}}, z_{2} \neq 0

因为 $z_{2} \overset{―}{z_{2}} = {| z_{2} |}^{2}$ 是不为零的非负实数，分母被实数化，最后按实数运算整理。特别地

\frac{1}{z} = \frac{\overset{―}{z}}{{| z |}^{2}}, z \neq 0

在复数集 $C$ 上，加、减、乘、除（分母非零）都封闭，并且满足上述运算律，因此 $C$ 构成一个域。

域

能做四则运算、且除法只在分母非零时进行、结果仍属于该集合的数集称为域。 $Q$ 、 $R$ 、 $C$ 都是域；整数集 $Z$ 不是域，因为 $1 / 2$ 不属于 $Z$ 。

复数不能比较大小

$C$ 上不存在与四则运算相容的大小顺序，写 $z_{1} < z_{2}$ 没有意义。能比较大小的只是 $| z_{1} |$ 、 $| z_{2} |$ 这类实数。

i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1

继续乘下去即开始循环，故

i^{n + 4} = i^{n}, n \in Z

计算 $i^{n}$ 时先把指数除以 4 取余数，例如 $i^{35} = i^{3} = - i$ 。