导数

导数定义

设函数 $w = f (z)$ 在 $z_{0}$ 的某个邻域内有定义。若极限

f^{'} (z_{0}) = lim_{Δ z \to 0} \frac{f (z_{0} + Δ z) - f (z_{0})}{Δ z}

存在，则称 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处可导，此极限值即为 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处的导数。

可导的函数 $f (z)$ 一定可微分，且导数可用实部、虚部的偏导数写成四种等价形式

f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x} = u_{x} - i u_{y} = v_{y} + i v_{x} = v_{y} - i u_{y}

即只要知道四个偏导数中的任意一对（例如 $u_{x}$ 与 $v_{x}$ ）就能写出 $f^{'} (z)$ ；四式相等正是 C-R方程的内容。

设函数 $f (z)$ 在 $D$ 内有定义， $z = x + i y \in D$ ，则 $f (z)$ 在点 $z$ 可导的充分条件：

可导必连续：若 $f$ 在 $z_{0}$ 可导，则 $z \neq z_{0}$ 时

f (z) - f (z_{0}) = \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} (z - z_{0}) \to f^{'} (z_{0}) \cdot 0 = 0

故 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = f (z_{0})$ 。

反之不成立： $f (z) = \overset{―}{z}$ 在复平面上处处连续，但差商 $\frac{\overset{―}{Δ z}}{Δ z}$ 沿实轴、虚轴分别趋于 $1$ 与 $- 1$ ，所以在任何点都不可导，即连续推不出可导。

四则运算与复合函数的链式法则和实函数完全一致（在相应的点可导时成立）：

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}, (f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}, {(\frac{f}{g})}^{'} = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}} (g \neq 0)

{(f (g (z)))}^{'} = f^{'} (g (z)) g^{'} (z), {(f^{- 1} (w))}^{'} = \frac{1}{f^{'} (z)} (w = f (z))

由此得 ${(z^{n})}^{'} = n z^{n - 1}$ ，多项式与有理函数（分母非零处）的求导公式也与实变量形式相同。

教材 §18