极坐标形式的C-R方程

#复变函数/第2章

许多函数写成极坐标 $z = r e^{i θ}$ 后形式最简，例如 $\ln | z |$ 、 $\arg z$ 、 $z^{n}$ 。此时若先转回直角坐标再套 C-R方程，展开计算会很繁琐；把 C-R 方程本身用 $(r, θ)$ 写出，就能直接在极坐标下判断解析性。

极坐标下的 C-R 方程

设 $f (z) = u (r, θ) + i v (r, θ)$ ，其中 $z = r e^{i θ}$ 且 $r > 0$ ，则 $f$ 可微当且仅当 $u, v$ 作为 $(r, θ)$ 的函数可微，并且

u_{r} = \frac{1}{r} v_{θ}, v_{r} = - \frac{1}{r} u_{θ}

也可逐项写出：

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial θ}, \frac{\partial v}{\partial r} = - \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial θ}

与直角坐标的 $u_{x} = v_{y}$ 、 $u_{y} = - v_{x}$ 只差一个因子 $\frac{1}{r}$ 。

只在

r > 0

处有效

因子 $\frac{1}{r}$ 在 $z = 0$ 处失效，极坐标形式的 C-R 方程不能用来讨论原点处的可微性。它适用的区域总是不含原点的

导数公式

在满足上述方程的点处，导数有两个等价写法：

f^{'} (z) = e^{- i θ} (u_{r} + i v_{r}) = \frac{1}{i z} (u_{θ} + i v_{θ})

推导思路：由 $x = r \cos θ$ 、 $y = r \sin θ$ 用链式法则把 $u_{r}, u_{θ}$ 表示成 $u_{x}, u_{y}$ 的组合（ $v$ 同理），代入直角坐标的 $f^{'} (z) = u_{x} + i v_{x}$ ，再用 C-R 方程消去 $u_{y}, v_{y}$ ，即得第一式；把 $u_{θ}, v_{θ}$ 的链式法则表达式乘以 $\frac{1}{i z} = \frac{e^{- i θ}}{i r}$ 并整理，就得到第二式。两式在极坐标下分别对应"沿径向求导"和"沿角向求导"两种看法。

用途

极坐标形式的优点是：函数的实部、虚部若天然以 $r, θ$ 表出，就不必展开成 $x, y$ 的多项式。常见做法是直接算出 $u_{r}, u_{θ}, v_{r}, v_{θ}$ ，验证两条方程是否处处成立，成立则 $f$ 在该区域内解析，并可顺手读出 $f^{'} (z)$ 。

以 $f (z) = z^{n}$ 为例， $u = r^{n} \cos n θ$ 、 $v = r^{n} \sin n θ$ ，于是

u_{r} = n r^{n - 1} \cos n θ = \frac{1}{r} v_{θ}, v_{r} = n r^{n - 1} \sin n θ = - \frac{1}{r} u_{θ}

两条方程在不含原点的区域上处处成立（ $n \geq 1$ 时在整个 $C$ 上成立），故 $z^{n}$ 解析，且 $f^{'} (z) = e^{- i θ} \cdot n r^{n - 1} e^{i n θ} = n z^{n - 1}$ ，与幂函数的结论一致。

判据选择

实部虚部含 $| z |$ 、 $\arg z$ 或写成 $r^{n} \cos n θ$ 形式时优先用极坐标形式；含 $x, y$ 的多项式时用直角坐标的 C-R方程更快。两者是同一组条件的两种写法，结论必须一致。

例题

见解析性与C-R方程#极坐标形式的C-R方程。

教材 §22