积分模的上界

很多问题不需要算出积分，只需要知道它有多小。本节给出唯一但极强的工具。

基本估计式

若 $f$ 在围道 $C$ 上连续，则

| \int_{C} f (z) d z | \leq \int_{C} | f (z) | | d z |

若进一步存在常数 $M$ 使 $| f (z) | \leq M$ 在 $C$ 上处处成立，而 $L$ 是 $C$ 的长度，则

| \int_{C} f (z) d z | \leq M L

称此为 ML 估计。

对分割和取模：

| \sum_{k} f (ζ_{k}) Δ z_{k} | \leq \sum_{k} | f (ζ_{k}) | | Δ z_{k} | \leq M \sum_{k} | Δ z_{k} |

再用"折线长度不超过弧长"，令分割无限加细即得。本质上它就是复变函数的定积分中 $| \int w d t | \leq \int | w | d t$ 的围道版本。

估个上界：把 $| f |$ 在 $C$ 上放大成常数 $M$ ，再用 $M$ 乘以 $C$ 的长度 $L$ ，得到 $| \int_{C} f d z | \leq M L$ 。
证明某段积分趋于 0：让围道变大时 $M$ 增长得比 $L$ 慢。例如 $C_{R}$ 是半径 $R$ 的上半圆弧，

| \int_{C_{R}} \frac{d z}{z^{2}} | \leq \frac{1}{R^{2}} \cdot π R = \frac{π}{R} ⟶ 0 (R \to \infty)

这种"圆弧上的积分消失"的论证是后面留数计算和刘维尔定理的基础。

教材 §41