解析函数的导数公式

定理（高阶导数公式）

设 $f$ 在沿正向的简单闭围道 $C$ 上及其内部解析， $z_{0}$ 是 $C$ 内部任意一点，则 $f$ 在 $z_{0}$ 处存在各阶导数，且

f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z, n = 0, 1, 2, \dots

其中 $n = 0$ 时就是柯西积分公式。特别地

f^{'} (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{2}} d z, f^{″} (z_{0}) = \frac{2}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{3}} d z

实函数可导一次完全不能保证可导两次（例如 $f (x) = x^{2} \sin (1 / x)$ 这类反例），而这里的结论是：复变函数只要在一个区域内解析，就在该区域无穷次可微。

证明思路：在柯西积分公式两端对 $z_{0}$ 求导，需要论证"积分号下求导"合法 —— 用积分模的上界证明相应的差商对 $z$ 一致收敛，再对 $n$ 归纳。

解析 ⇒ 各阶导数解析 ⇒ 各阶偏导数连续（回看导数中那条"

f

可导的充分条件"，原先额外假设的连续性其实可以去掉）。

设 $f$ 在 $| z - z_{0} | \leq R$ 上解析， $M_{R} = max_{| z - z_{0} | = R} | f (z) |$ ，则

| f^{(n)} (z_{0}) | \leq \frac{n! M_{R}}{R^{n}}

取 $C$ 为圆周 $| z - z_{0} | = R$ ，对高阶导数公式用 ML 估计即得（教材把这条不等式作为 §49 的引理单独给出）。这个不等式的价值在于：只要知道 $f$ 在一个圆上的最大模，就能控制它在圆心处的所有导数。它是刘维尔定理与代数基本定理的唯一工具。

把被积函数凑成 $\frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}}$ ，则

\oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n!} f^{(n)} (z_{0})

另一道同型题（ $\oint_{| z | = 1} \frac{\sin z}{z^{4}} d z$ ）见柯西积分公式应用#解析函数的导数公式。

教材 §48–§49