解析

函数解析定义

如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 及其某个邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析，$z_0$ 是 $f(z)$ 的一个解析点。

导数

解析是“邻域性质”：解析函数在其解析点的某个邻域内处处可导；反之，仅在一点可导并不等于在该点解析（例如 $f(z)={\left|z\right|}^2$ 只在 $z=0$ 可导，故它在 $z=0$ 处也不解析）。

如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，也称 $f(z)$ 是 $D$ 内解析函数。

如果函数在 $z_0$ 不解析，则称 $z_0$ 是 $f(z)$ 的奇点。

区域定义详见点集相关基本概念

充要条件

设函数 $f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，则函数在 $D$ 内解析的充要条件为

• $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 在 $D$ 内任意一点 $(x,y)$ 处可微；
• $u(x,y)$ 与 $v(x,y)$ 满足 C-R方程。

判别时也可用 C-R 方程的极坐标形式，见极坐标形式的C-R方程。

微分

运算法则

• 两个在 $D$ 内解析的函数的四则运算在 $D$ 内依然解析（除法要求分母在 $D$ 内不为零）
• 设 $g(z)$ 在 $D$ 内解析，$f(h)$ 在 $G$ 内解析，且当 $z\in D$ 时 $g(z)\in G$，则 $f(g(z))$ 在 $D$ 内解析
• 在 $D$ 内解析且导数处处不为零的函数，其反函数在相应区域内解析

教材 §23