C-R方程

若复变函数 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 在 $z_{0}$ 处可微，则其实部与虚部并不独立：在 $(x_{0}, y_{0})$ 处必须满足 C-R（Cauchy–Riemann）方程

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

必要性

设 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 在 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 处可微（可导），则 $u (x, y)$ 与 $v (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数都存在，且在该点满足 C-R 方程

u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}

充分性

设 $u (x, y)$ 与 $v (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的某个邻域内有定义，其偏导数 $u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处存在且连续，并且在该点满足 C-R 方程 $u_{x} = v_{y}$ 、 $u_{y} = - v_{x}$ ，则 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 在 $z_{0}$ 处可微（可导），且

f^{'} (z_{0}) = u_{x} + i v_{x} = v_{y} - i u_{y}

两个前提都不能少

“偏导数存在 + C-R 方程”本身不足以保证可微，还需要偏导数连续（或直接设 $u, v$ 可微）；而必要性只要求可微，并不要求偏导数连续。

极坐标形式

在极坐标 $z = r e^{i θ}$ 下，C-R 方程与导数写成

u_{r} = \frac{1}{r} v_{θ}, v_{r} = - \frac{1}{r} u_{θ}, f^{'} (z) = e^{- i θ} (u_{r} + i v_{r})

推导与用法见极坐标形式的C-R方程。

几何意义

设 $f$ 在 $z_{0}$ 可微且 $f^{'} (z_{0}) \neq 0$ ，则它的线性化（Jacobi 矩阵）在 C-R 方程下形如

(\begin{matrix} u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}), a = u_{x}, b = v_{x}

即“乘以复数 $a + i b = f^{'} (z_{0})$ ”。于是 $f$ 在 $z_{0}$ 附近把每个小图形统一伸缩 $| f^{'} (z_{0}) |$ 倍并旋转 $\arg f^{'} (z_{0})$ ，因此过 $z_{0}$ 的任意两条曲线在映射后夹角不变——这就是解析函数的保角性。

教材 §20–§21